Cálculo Ejemplos

$u = v^{2} \sqrt{8 v - 5}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{8 u' - 5}$ como ${(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$u = {u'}^{2} {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d u'} u = \frac{d}{d u'} ({u'}^{2} {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 3

La derivada de $u$ con respecto a $u'$ es $u'$ .

$u'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d v} [f (u') g (u')]$ es $f (u') \frac{d}{d v} [g (u')] + g (u') \frac{d}{d v} [f (u')]$ donde $f (u') = {u'}^{2}$ y $g (u') = {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${u'}^{2} \frac{d}{d v} [{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}] + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d v} [f (g (u'))]$ es $f' (g (u')) g' (u')$ donde $f (u') = {u'}^{\frac{1}{2}}$ y $g (u') = 8 u' - 5$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $8 u' - 5$ .

${u'}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [8 u' - 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [8 u' - 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $8 u' - 5$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [8 u' - 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Paso 4.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Paso 4.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Paso 4.6.2

Resta $2$ de $1$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Paso 4.7

Combina fracciones.

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Paso 4.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Paso 4.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(8 u' - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

${u'}^{2} (\frac{{(8 u' - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d v} [8 u' - 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Paso 4.7.3

Mueve ${(8 u' - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [8 u' - 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Paso 4.7.4

Combina $\frac{1}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ y ${u'}^{2}$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [8 u' - 5] + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Paso 4.8

Según la regla de la suma, la derivada de $8 u' - 5$ con respecto a $u'$ es $\frac{d}{d v} [8 u'] + \frac{d}{d v} [- 5]$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d v} [8 u'] + \frac{d}{d v} [- 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Paso 4.9

Como $8$ es constante con respecto a $u'$ , la derivada de $8 u'$ con respecto a $u'$ es $8 \frac{d}{d v} [u']$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} (8 \frac{d}{d v} [u'] + \frac{d}{d v} [- 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Paso 4.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ es $n {u'}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Paso 4.11

Multiplica $8$ por $1$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} (8 + \frac{d}{d v} [- 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Paso 4.12

Como $- 5$ es constante con respecto a $u'$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $u'$ es $0$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} (8 + 0) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Paso 4.13

Simplifica los términos.

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Paso 4.13.1

Suma $8$ y $0$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 8 + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Paso 4.13.2

Combina $\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ y $8$ .

$\frac{{u'}^{2} \cdot 8}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Paso 4.13.3

Mueve $8$ a la izquierda de ${u'}^{2}$ .

$\frac{8 \cdot {u'}^{2}}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Paso 4.13.4

Factoriza $2$ de $8 {u'}^{2}$ .

$\frac{2 (4 {u'}^{2})}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Paso 4.14

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.14.1

Factoriza $2$ de $2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (4 {u'}^{2})}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Paso 4.14.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (4 {u'}^{2})}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Paso 4.14.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Paso 4.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ es $n {u'}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} (2 u')$

Paso 4.16

Mueve $2$ a la izquierda de ${(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} u'$

Paso 4.17

Combina $\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ y $2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} u'$ mediante un denominador común.

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Paso 4.17.1

Mueve ${(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} + 2 u' {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.17.2

Para escribir $2 u' {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 u' {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.17.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.18

Multiplica ${(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.18.1

Mueve ${(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' ({(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.18.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.18.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 5)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.18.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 5)}^{\frac{2}{2}}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.18.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 5)}^{1}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.19

Simplifica $2 u' {(8 u' - 5)}^{1}$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' (8 u' - 5)}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.20

Simplifica.

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Paso 4.20.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' (8 u') + 2 u' \cdot - 5}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.20.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.20.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.20.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 \cdot 8 u' u' + 2 u' \cdot - 5}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.20.2.1.2

Multiplica $u'$ por $u'$ sumando los exponentes.

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Paso 4.20.2.1.2.1

Mueve $u'$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 \cdot 8 (u' u') + 2 u' \cdot - 5}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.20.2.1.2.2

Multiplica $u'$ por $u'$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 \cdot 8 {u'}^{2} + 2 u' \cdot - 5}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.20.2.1.3

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 16 {u'}^{2} + 2 u' \cdot - 5}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.20.2.1.4

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 16 {u'}^{2} - 10 u'}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.20.2.2

Suma $4 {u'}^{2}$ y $16 {u'}^{2}$ .

$\frac{20 {u'}^{2} - 10 u'}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.20.3

Factoriza $10 u'$ de $20 {u'}^{2} - 10 u'$ .

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Paso 4.20.3.1

Factoriza $10 u'$ de $20 {u'}^{2}$ .

$\frac{10 u' (2 u') - 10 u'}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.20.3.2

Factoriza $10 u'$ de $- 10 u'$ .

$\frac{10 u' (2 u') + 10 u' \cdot - 1}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.20.3.3

Factoriza $10 u'$ de $10 u' (2 u') + 10 u' \cdot - 1$ .

$\frac{10 u' (2 u' - 1)}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$u' = \frac{10 u' (2 u' - 1)}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

No hay solución

Paso 7

Reemplaza $u'$ con $\frac{d u}{d v}$ .

$\frac{d u}{d v}$