Cálculo Ejemplos

$\sin (27 x t) = t$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\sin (27 x t)) = \frac{d}{d x} (t)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 27 x t$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $27 x t$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [27 x t]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [27 x t]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $27 x t$ .

$\cos (27 x t) \frac{d}{d x} [27 x t]$

Paso 2.2

Como $27$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $27 x t$ con respecto a $x$ es $27 \frac{d}{d x} [x t]$ .

$\cos (27 x t) (27 \frac{d}{d x} [x t])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = t$ .

$\cos (27 x t) (27 (x \frac{d}{d x} [t] + t \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [t]$ como $t'$ .

$\cos (27 x t) (27 (x t' + t \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (27 x t) (27 (x t' + t \cdot 1))$

Paso 2.6

Multiplica $t$ por $1$ .

$\cos (27 x t) (27 (x t' + t))$

Paso 2.7

Simplifica.

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Paso 2.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (27 x t) (27 (x t') + 27 t)$

Paso 2.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (27 x t) (27 (x t')) + \cos (27 x t) (27 t)$

Paso 2.7.3

Reordena los términos.

$27 x \cos (27 x t) t' + 27 t \cos (27 x t)$

Paso 3

Reescribe $\frac{d}{d x} [t]$ como $t'$ .

$t'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$27 x \cos (27 x t) t' + 27 t \cos (27 x t) = t'$

Paso 5

Resuelve $t'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $27 x \cos (27 x t) t' + 27 t \cos (27 x t)$ .

$27 x t' \cos (27 x t) + 27 t \cos (27 x t) = t'$

Paso 5.2

Resta $t'$ de ambos lados de la ecuación.

$27 x t' \cos (27 x t) + 27 t \cos (27 x t) - t' = 0$

Paso 5.3

Resta $27 t \cos (27 x t)$ de ambos lados de la ecuación.

$27 x t' \cos (27 x t) - t' = - 27 t \cos (27 x t)$

Paso 5.4

Factoriza $t'$ de $27 x t' \cos (27 x t) - t'$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $t'$ de $27 x t' \cos (27 x t)$ .

$t' (27 x \cos (27 x t)) - t' = - 27 t \cos (27 x t)$

Paso 5.4.2

Factoriza $t'$ de $- t'$ .

$t' (27 x \cos (27 x t)) + t' \cdot - 1 = - 27 t \cos (27 x t)$

Paso 5.4.3

Factoriza $t'$ de $t' (27 x \cos (27 x t)) + t' \cdot - 1$ .

$t' (27 x \cos (27 x t) - 1) = - 27 t \cos (27 x t)$

Paso 5.5

Divide cada término en $t' (27 x \cos (27 x t) - 1) = - 27 t \cos (27 x t)$ por $27 x \cos (27 x t) - 1$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $t' (27 x \cos (27 x t) - 1) = - 27 t \cos (27 x t)$ por $27 x \cos (27 x t) - 1$ .

$\frac{t' (27 x \cos (27 x t) - 1)}{27 x \cos (27 x t) - 1} = \frac{- 27 t \cos (27 x t)}{27 x \cos (27 x t) - 1}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $27 x \cos (27 x t) - 1$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{t' (27 x \cos (27 x t) - 1)}{27 x \cos (27 x t) - 1} = \frac{- 27 t \cos (27 x t)}{27 x \cos (27 x t) - 1}$

Paso 5.5.2.1.2

Divide $t'$ por $1$ .

$t' = \frac{- 27 t \cos (27 x t)}{27 x \cos (27 x t) - 1}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$t' = - \frac{27 t \cos (27 x t)}{27 x \cos (27 x t) - 1}$

Paso 6

Reemplaza $t'$ con $\frac{d t}{d x}$ .

$\frac{d t}{d x} = - \frac{27 t \cos (27 x t)}{27 x \cos (27 x t) - 1}$