Cálculo Ejemplos

$f = (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (4 r^{4} - 7)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d r} (f) = \frac{d}{d r} ((- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (4 r^{4} - 7))$

Paso 2

La derivada de $f$ con respecto a $r$ es $f'$ .

$f'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ es $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ donde $f (r) = - 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}$ y $g (r) = 4 r^{4} - 7$ .

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) \frac{d}{d r} [4 r^{4} - 7] + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 r^{4} - 7$ con respecto a $r$ es $\frac{d}{d r} [4 r^{4}] + \frac{d}{d r} [- 7]$ .

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (\frac{d}{d r} [4 r^{4}] + \frac{d}{d r} [- 7]) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

Paso 3.2.2

Como $4$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $4 r^{4}$ con respecto a $r$ es $4 \frac{d}{d r} [r^{4}]$ .

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (4 \frac{d}{d r} [r^{4}] + \frac{d}{d r} [- 7]) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (4 (4 r^{3}) + \frac{d}{d r} [- 7]) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

Paso 3.2.4

Multiplica $4$ por $4$ .

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (16 r^{3} + \frac{d}{d r} [- 7]) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

Paso 3.2.5

Como $- 7$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $r$ es $0$ .

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (16 r^{3} + 0) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

Paso 3.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.6.1

Suma $16 r^{3}$ y $0$ .

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (16 r^{3}) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

Paso 3.2.6.2

Mueve $16$ a la izquierda de $- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}$ .

$16 \cdot (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

Paso 3.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}$ con respecto a $r$ es $\frac{d}{d r} [- 6 r^{9}] + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}]$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (\frac{d}{d r} [- 6 r^{9}] + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

Paso 3.2.8

Como $- 6$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $- 6 r^{9}$ con respecto a $r$ es $- 6 \frac{d}{d r} [r^{9}]$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 6 \frac{d}{d r} [r^{9}] + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

Paso 3.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 9$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 6 (9 r^{8}) + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

Paso 3.2.10

Multiplica $9$ por $- 6$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

Paso 3.2.11

Como $- 1$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $r$ es $0$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 0 + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

Paso 3.2.12

Suma $- 54 r^{8}$ y $0$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

Paso 3.2.13

Como $- 9$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $- \frac{9}{r^{2}}$ con respecto a $r$ es $- 9 \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{2}}]$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{2}}])$

Paso 3.2.14

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.2.14.1

Reescribe $\frac{1}{r^{2}}$ como ${(r^{2})}^{- 1}$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 \frac{d}{d r} [{(r^{2})}^{- 1}])$

Paso 3.2.14.2

Multiplica los exponentes en ${(r^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.14.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 \frac{d}{d r} [r^{2 \cdot - 1}])$

Paso 3.2.14.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 \frac{d}{d r} [r^{- 2}])$

Paso 3.2.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 (- 2 r^{- 3}))$

Paso 3.2.16

Multiplica $- 2$ por $- 9$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 r^{- 3})$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Paso 3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(16 (- 6 r^{9}) + 16 \cdot - 1 + 16 (- \frac{9}{r^{2}})) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Paso 3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$16 (- 6 r^{9}) r^{3} + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Paso 3.3.4

Combina los términos.

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Paso 3.3.4.1

Multiplica $- 6$ por $16$ .

$- 96 r^{9} r^{3} + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Paso 3.3.4.2

Multiplica $r^{9}$ por $r^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.4.2.1

Mueve $r^{3}$ .

$- 96 (r^{3} r^{9}) + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Paso 3.3.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 96 r^{3 + 9} + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Paso 3.3.4.2.3

Suma $3$ y $9$ .

$- 96 r^{12} + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Paso 3.3.4.3

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Paso 3.3.4.4

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 16 \frac{9}{r^{2}} r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Paso 3.3.4.5

Combina $- 16$ y $\frac{9}{r^{2}}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} + \frac{- 16 \cdot 9}{r^{2}} r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Paso 3.3.4.6

Multiplica $- 16$ por $9$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} + \frac{- 144}{r^{2}} r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Paso 3.3.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{144}{r^{2}} r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Paso 3.3.4.8

Combina $r^{3}$ y $\frac{144}{r^{2}}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{r^{3} \cdot 144}{r^{2}} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Paso 3.3.4.9

Mueve $144$ a la izquierda de $r^{3}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{144 \cdot r^{3}}{r^{2}} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Paso 3.3.4.10

Cancela el factor común de $r^{3}$ y $r^{2}$ .

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Paso 3.3.4.10.1

Factoriza $r^{2}$ de $144 r^{3}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{r^{2} (144 r)}{r^{2}} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Paso 3.3.4.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.4.10.2.1

Multiplica por $1$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{r^{2} (144 r)}{r^{2} \cdot 1} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Paso 3.3.4.10.2.2

Cancela el factor común.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{r^{2} (144 r)}{r^{2} \cdot 1} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Paso 3.3.4.10.2.3

Reescribe la expresión.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{144 r}{1} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Paso 3.3.4.10.2.4

Divide $144 r$ por $1$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - (144 r) + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Paso 3.3.4.11

Multiplica $144$ por $- 1$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 144 r + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Paso 3.3.4.12

Combina $18$ y $\frac{1}{r^{3}}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 144 r + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + \frac{18}{r^{3}})$

Paso 3.3.5

Reordena los términos.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} + (- 54 r^{8} + \frac{18}{r^{3}}) (4 r^{4} - 7) - 144 r$

Paso 3.3.6

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.6.1

Expande $(- 54 r^{8} + \frac{18}{r^{3}}) (4 r^{4} - 7)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 r^{8} (4 r^{4} - 7) + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4} - 7) - 144 r$

Paso 3.3.6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 r^{8} (4 r^{4}) - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4} - 7) - 144 r$

Paso 3.3.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 r^{8} (4 r^{4}) - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Paso 3.3.6.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.6.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 \cdot 4 r^{8} r^{4} - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Paso 3.3.6.2.2

Multiplica $r^{8}$ por $r^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.6.2.2.1

Mueve $r^{4}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 \cdot 4 (r^{4} r^{8}) - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Paso 3.3.6.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 \cdot 4 r^{4 + 8} - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Paso 3.3.6.2.2.3

Suma $4$ y $8$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 \cdot 4 r^{12} - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Paso 3.3.6.2.3

Multiplica $- 54$ por $4$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Paso 3.3.6.2.4

Multiplica $- 7$ por $- 54$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Paso 3.3.6.2.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 4 \frac{18}{r^{3}} r^{4} + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Paso 3.3.6.2.6

Multiplica $4 \frac{18}{r^{3}}$ .

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Paso 3.3.6.2.6.1

Combina $4$ y $\frac{18}{r^{3}}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{4 \cdot 18}{r^{3}} r^{4} + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Paso 3.3.6.2.6.2

Multiplica $4$ por $18$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{72}{r^{3}} r^{4} + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Paso 3.3.6.2.7

Cancela el factor común de $r^{3}$ .

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Paso 3.3.6.2.7.1

Factoriza $r^{3}$ de $r^{4}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{72}{r^{3}} (r^{3} r) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Paso 3.3.6.2.7.2

Cancela el factor común.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{72}{r^{3}} (r^{3} r) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Paso 3.3.6.2.7.3

Reescribe la expresión.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 72 r + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Paso 3.3.6.2.8

Multiplica $\frac{18}{r^{3}} \cdot - 7$ .

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Paso 3.3.6.2.8.1

Combina $\frac{18}{r^{3}}$ y $- 7$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 72 r + \frac{18 \cdot - 7}{r^{3}} - 144 r$

Paso 3.3.6.2.8.2

Multiplica $18$ por $- 7$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 72 r + \frac{- 126}{r^{3}} - 144 r$

Paso 3.3.6.2.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 72 r - \frac{126}{r^{3}} - 144 r$

Paso 3.3.7

Resta $216 r^{12}$ de $- 96 r^{12}$ .

$- 312 r^{12} - 16 r^{3} + 378 r^{8} + 72 r - \frac{126}{r^{3}} - 144 r$

Paso 3.3.8

Resta $144 r$ de $72 r$ .

$- 312 r^{12} - 16 r^{3} + 378 r^{8} - 72 r - \frac{126}{r^{3}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$f' = - 312 r^{12} - 16 r^{3} + 378 r^{8} - 72 r - \frac{126}{r^{3}}$

Paso 5

Reemplaza $f'$ con $\frac{d f}{d r}$ .

$\frac{d f}{d r} = - 312 r^{12} - 16 r^{3} + 378 r^{8} - 72 r - \frac{126}{r^{3}}$