Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt[3]{1 - 2 x^{3}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{1 - 2 x^{3}}$ como ${(1 - 2 x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - 2 x^{3})}^{\frac{1}{3}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = 1 - 2 x^{3}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - 2 x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{3}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{3}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - 2 x^{3}$ .

$\frac{1}{3} {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{3}]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{3}]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{3}]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{3}]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{3}]$

Paso 6.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{3}]$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} {(1 - 2 x^{3})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{3}]$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(1 - 2 x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(1 - 2 x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{3}]$

Paso 7.3

Mueve ${(1 - 2 x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{3}]$

Paso 8

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}])$

Paso 9

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}])$

Paso 10

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Paso 11

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 12

Combina fracciones.

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Paso 12.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 2}{3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 12.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- \frac{2}{3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (3 x^{2})$

Paso 14

Simplifica los términos.

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Paso 14.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 \frac{2}{3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}} x^{2}$

Paso 14.2

Combina $- 3$ y $\frac{2}{3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2}{3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}} x^{2}$

Paso 14.3

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$\frac{- 6}{3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}} x^{2}$

Paso 14.4

Combina $\frac{- 6}{3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ y $x^{2}$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 14.5

Factoriza $3$ de $- 6 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15

Cancela los factores comunes.

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Paso 15.1

Factoriza $3$ de $3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 ({(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}})}$

Paso 15.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2 x^{2}}{{(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 x^{2}}{{(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$