Cálculo Ejemplos

$s = \frac{1}{3} t^{3} - 5 t^{2} + 16 t + 8$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d s} (s) = \frac{d}{d s} (\frac{1}{3} t^{3} - 5 t^{2} + 16 t + 8)$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ es $n s^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{3} t^{3} - 5 t^{2} + 16 t + 8$ con respecto a $s$ es $\frac{d}{d s} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d s} [\frac{1}{3} t^{3}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $s$ , la derivada de $\frac{1}{3} t^{3}$ con respecto a $s$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [t^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ es $f' (g (s)) g' (s)$ donde $f (s) = s^{3}$ y $g (s) = t$ .

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Paso 3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $t$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Paso 3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $t$ .

$\frac{1}{3} (3 t^{2} \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Paso 3.2.3

Reescribe $\frac{d}{d s} [t]$ como $t'$ .

$\frac{1}{3} (3 t^{2} t') + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Paso 3.2.4

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} (t^{2} t') + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Paso 3.2.5

Combina $t^{2}$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{t^{2} \cdot 3}{3} t' + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Paso 3.2.6

Combina $\frac{t^{2} \cdot 3}{3}$ y $t'$ .

$\frac{t^{2} \cdot 3 t'}{3} + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Paso 3.2.7

Mueve $3$ a la izquierda de $t^{2}$ .

$\frac{3 \cdot t^{2} t'}{3} + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Paso 3.2.8

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.8.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 t^{2} t'}{3} + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Paso 3.2.8.2

Divide $t^{2} t'$ por $1$ .

$t^{2} t' + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d s} [- 5 t^{2}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $s$ , la derivada de $- 5 t^{2}$ con respecto a $s$ es $- 5 \frac{d}{d s} [t^{2}]$ .

$t^{2} t' - 5 \frac{d}{d s} [t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ es $f' (g (s)) g' (s)$ donde $f (s) = s^{2}$ y $g (s) = t$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $t$ .

$t^{2} t' - 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Paso 3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$t^{2} t' - 5 (2 u_{2} \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $t$ .

$t^{2} t' - 5 (2 t \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Paso 3.3.3

Reescribe $\frac{d}{d s} [t]$ como $t'$ .

$t^{2} t' - 5 (2 t t') + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Paso 3.3.4

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d s} [16 t]$ .

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Paso 3.4.1

Como $16$ es constante con respecto a $s$ , la derivada de $16 t$ con respecto a $s$ es $16 \frac{d}{d s} [t]$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 \frac{d}{d s} [t] + \frac{d}{d s} [8]$

Paso 3.4.2

Reescribe $\frac{d}{d s} [t]$ como $t'$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' + \frac{d}{d s} [8]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.5.1

Como $8$ es constante con respecto a $s$ , la derivada de $8$ con respecto a $s$ es $0$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' + 0$

Paso 3.5.2

Suma $t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$ y $0$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$

Paso 5

Resuelve $t'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' = 1$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' = 1$

Paso 5.2

Factoriza $t'$ de $t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $t'$ de $t^{2} t'$ .

$t' t^{2} - 10 t t' + 16 t' = 1$

Paso 5.2.2

Factoriza $t'$ de $- 10 t t'$ .

$t' (t^{2}) + t' (- 10 t) + 16 t' = 1$

Paso 5.2.3

Factoriza $t'$ de $16 t'$ .

$t' (t^{2}) + t' (- 10 t) + t' \cdot 16 = 1$

Paso 5.2.4

Factoriza $t'$ de $t' (t^{2}) + t' (- 10 t)$ .

$t' (t^{2} - 10 t) + t' \cdot 16 = 1$

Paso 5.2.5

Factoriza $t'$ de $t' (t^{2} - 10 t) + t' \cdot 16$ .

$t' (t^{2} - 10 t + 16) = 1$

Paso 5.3

Factoriza.

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Paso 5.3.1

Factoriza $t^{2} - 10 t + 16$ con el método AC.

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Paso 5.3.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $16$ y cuya suma es $- 10$ .

$- 8, - 2$

Paso 5.3.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$t' ((t - 8) (t - 2)) = 1$

Paso 5.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$t' (t - 8) (t - 2) = 1$

Paso 5.4

Divide cada término en $t' (t - 8) (t - 2) = 1$ por $(t - 8) (t - 2)$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $t' (t - 8) (t - 2) = 1$ por $(t - 8) (t - 2)$ .

$\frac{t' (t - 8) (t - 2)}{(t - 8) (t - 2)} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $t - 8$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{t' (t - 8) (t - 2)}{(t - 8) (t - 2)} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{t' (t - 2)}{t - 2} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $t - 2$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{t' (t - 2)}{t - 2} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

Paso 5.4.2.2.2

Divide $t'$ por $1$ .

$t' = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

Paso 6

Reemplaza $t'$ con $\frac{d t}{d s}$ .

$\frac{d t}{d s} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$