Cálculo Ejemplos

$s = t^{3} - 12 t$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d s} (s) = \frac{d}{d s} (t^{3} - 12 t)$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ es $n s^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{3} - 12 t$ con respecto a $s$ es $\frac{d}{d s} [t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 12 t]$ .

$\frac{d}{d s} [t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 12 t]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d s} [t^{3}]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ es $f' (g (s)) g' (s)$ donde $f (s) = s^{3}$ y $g (s) = t$ .

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Paso 3.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d s} [t] + \frac{d}{d s} [- 12 t]$

Paso 3.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d s} [t] + \frac{d}{d s} [- 12 t]$

Paso 3.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t$ .

$3 t^{2} \frac{d}{d s} [t] + \frac{d}{d s} [- 12 t]$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{d}{d s} [t]$ como $t'$ .

$3 t^{2} t' + \frac{d}{d s} [- 12 t]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d s} [- 12 t]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $s$ , la derivada de $- 12 t$ con respecto a $s$ es $- 12 \frac{d}{d s} [t]$ .

$3 t^{2} t' - 12 \frac{d}{d s} [t]$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{d}{d s} [t]$ como $t'$ .

$3 t^{2} t' - 12 t'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = 3 t^{2} t' - 12 t'$

Paso 5

Resuelve $t'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $3 t^{2} t' - 12 t' = 1$ .

$3 t^{2} t' - 12 t' = 1$

Paso 5.2

Factoriza $3 t'$ de $3 t^{2} t' - 12 t'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $3 t'$ de $3 t^{2} t'$ .

$3 t' t^{2} - 12 t' = 1$

Paso 5.2.2

Factoriza $3 t'$ de $- 12 t'$ .

$3 t' t^{2} + 3 t' \cdot - 4 = 1$

Paso 5.2.3

Factoriza $3 t'$ de $3 t' t^{2} + 3 t' \cdot - 4$ .

$3 t' (t^{2} - 4) = 1$

Paso 5.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$3 t' (t^{2} - 2^{2}) = 1$

Paso 5.4

Factoriza.

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Paso 5.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = t$ y $b = 2$ .

$3 t' ((t + 2) (t - 2)) = 1$

Paso 5.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$3 t' (t + 2) (t - 2) = 1$

Paso 5.5

Divide cada término en $3 t' (t + 2) (t - 2) = 1$ por $3 (t + 2) (t - 2)$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $3 t' (t + 2) (t - 2) = 1$ por $3 (t + 2) (t - 2)$ .

$\frac{3 t' (t + 2) (t - 2)}{3 (t + 2) (t - 2)} = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 t' (t + 2) (t - 2)}{3 (t + 2) (t - 2)} = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

Paso 5.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{t' (t + 2) (t - 2)}{(t + 2) (t - 2)} = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

Paso 5.5.2.2

Cancela el factor común de $t + 2$ .

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{t' (t + 2) (t - 2)}{(t + 2) (t - 2)} = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

Paso 5.5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{t' (t - 2)}{t - 2} = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

Paso 5.5.2.3

Cancela el factor común de $t - 2$ .

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Paso 5.5.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{t' (t - 2)}{t - 2} = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

Paso 5.5.2.3.2

Divide $t'$ por $1$ .

$t' = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

Paso 6

Reemplaza $t'$ con $\frac{d t}{d s}$ .

$\frac{d t}{d s} = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$