Cálculo Ejemplos

$\cos (x) + \sqrt{y} = 6$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) + y^{\frac{1}{2}} = 6$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (\cos (x) + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d y} (6)$

Paso 3

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (x) + y^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\cos (x)] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [\cos (x)] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d y} [\cos (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \cos (y)$ y $g (y) = x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$- \sin (x) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$- \sin (x) x' + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}$

Paso 3.3.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 3.3.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 3.3.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}$

Paso 3.3.5.2

Resta $2$ de $1$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}$

Paso 3.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}$

Paso 3.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.4.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4

Como $6$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $6$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 6

Resuelve $x'$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Reordena los factores en $- \sin (x) x' + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$- x' \sin (x) + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 6.2

Resta $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ de ambos lados de la ecuación.

$- x' \sin (x) = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.3

Divide cada término en $- x' \sin (x) = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ por $- \sin (x)$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Divide cada término en $- x' \sin (x) = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ por $- \sin (x)$ .

$\frac{- x' \sin (x)}{- \sin (x)} = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x' \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

Paso 6.3.2.2

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

Paso 6.3.2.2.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

Paso 6.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x' = \frac{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{\sin (x)}$

Paso 6.3.3.2

Separa las fracciones.

$x' = \frac{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Paso 6.3.3.3

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$x' = \frac{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{1} \csc (x)$

Paso 6.3.3.4

Divide $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \csc (x)$

Paso 6.3.3.5

Combina $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ y $\csc (x)$ .

$x' = \frac{\csc (x)}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{\csc (x)}{2 y^{\frac{1}{2}}}$