Cálculo Ejemplos

$\sin (x) = e^{y}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (\sin (x)) = \frac{d}{d y} (e^{y})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \sin (y)$ y $g (y) = x$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [x]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d y} [x]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$\cos (x) \frac{d}{d y} [x]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\cos (x) x'$

Paso 3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ es $a^{y} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{y}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\cos (x) x' = e^{y}$

Paso 5

Divide cada término en $\cos (x) x' = e^{y}$ por $\cos (x)$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $\cos (x) x' = e^{y}$ por $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) x'}{\cos (x)} = \frac{e^{y}}{\cos (x)}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (x) x'}{\cos (x)} = \frac{e^{y}}{\cos (x)}$

Paso 5.2.1.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{e^{y}}{\cos (x)}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Separa las fracciones.

$x' = \frac{e^{y}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 5.3.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$x' = \frac{e^{y}}{1} \sec (x)$

Paso 5.3.3

Divide $e^{y}$ por $1$ .

$x' = e^{y} \sec (x)$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = e^{y} \sec (x)$