Cálculo Ejemplos

$x y - e^{x y} = 7$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (x y - e^{x y}) = \frac{d}{d y} (7)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x y - e^{x y}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$ .

$\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = x$ y $g (y) = y$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x \cdot 1 + y x' + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$

Paso 2.2.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$x + y x' + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- e^{x y}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- e^{x y}$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [e^{x y}]$ .

$x + y x' - \frac{d}{d y} [e^{x y}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = e^{y}$ y $g (y) = x y$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y$ .

$x + y x' - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y])$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x + y x' - (e^{u} \frac{d}{d y} [x y])$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y$ .

$x + y x' - (e^{x y} \frac{d}{d y} [x y])$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = x$ y $g (y) = y$ .

$x + y x' - (e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]))$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x + y x' - (e^{x y} (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]))$

Paso 2.3.5

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x + y x' - (e^{x y} (x \cdot 1 + y x'))$

Paso 2.3.6

Multiplica $x$ por $1$ .

$x + y x' - e^{x y} (x + y x')$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x + y x' - e^{x y} x - e^{x y} (y x')$

Paso 2.4.2

Reordena los términos.

$y x' - e^{x y} x - e^{x y} y x' + x$

Paso 3

Como $7$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $7$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y x' - e^{x y} x - e^{x y} y x' + x = 0$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Reordena los factores en $y x' - e^{x y} x - e^{x y} y x' + x$ .

$y x' - x e^{x y} - y x' e^{x y} + x = 0$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $x'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Suma $x e^{x y}$ a ambos lados de la ecuación.

$y x' - y x' e^{x y} + x = x e^{x y}$

Paso 5.2.2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$y x' - y x' e^{x y} = x e^{x y} - x$

Paso 5.3

Factoriza $y x'$ de $y x' - y x' e^{x y}$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $y x'$ de $y x'$ .

$y x' \cdot 1 - y x' e^{x y} = x e^{x y} - x$

Paso 5.3.2

Factoriza $y x'$ de $- y x' e^{x y}$ .

$y x' \cdot 1 + y x' (- 1 e^{x y}) = x e^{x y} - x$

Paso 5.3.3

Factoriza $y x'$ de $y x' \cdot 1 + y x' (- 1 e^{x y})$ .

$y x' (1 - 1 e^{x y}) = x e^{x y} - x$

Paso 5.4

Reescribe $- 1 e^{x y}$ como $- e^{x y}$ .

$y x' (1 - e^{x y}) = x e^{x y} - x$

Paso 5.5

Divide cada término en $y x' (1 - e^{x y}) = x e^{x y} - x$ por $y (1 - e^{x y})$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $y x' (1 - e^{x y}) = x e^{x y} - x$ por $y (1 - e^{x y})$ .

$\frac{y x' (1 - e^{x y})}{y (1 - e^{x y})} = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} + \frac{- x}{y (1 - e^{x y})}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y x' (1 - e^{x y})}{y (1 - e^{x y})} = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} + \frac{- x}{y (1 - e^{x y})}$

Paso 5.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x' (1 - e^{x y})}{1 - e^{x y}} = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} + \frac{- x}{y (1 - e^{x y})}$

Paso 5.5.2.2

Cancela el factor común de $1 - e^{x y}$ .

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (1 - e^{x y})}{1 - e^{x y}} = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} + \frac{- x}{y (1 - e^{x y})}$

Paso 5.5.2.2.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} + \frac{- x}{y (1 - e^{x y})}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} - \frac{x}{y (1 - e^{x y})}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} - \frac{x}{y (1 - e^{x y})}$