Cálculo Ejemplos

$x = \sqrt{125 - p^{2}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{125 - p^{2}}$ como ${(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d p} (x) = \frac{d}{d p} ({(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 3

La derivada de $x$ con respecto a $p$ es $x'$ .

$x'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ es $f' (g (p)) g' (p)$ donde $f (p) = p^{\frac{1}{2}}$ y $g (p) = 125 - p^{2}$ .

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Paso 4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $125 - p^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Paso 4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $125 - p^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Paso 4.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Paso 4.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Paso 4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Paso 4.5.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Paso 4.6

Combina fracciones.

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Paso 4.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Paso 4.6.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(125 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(125 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Paso 4.6.3

Mueve ${(125 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Paso 4.7

Según la regla de la suma, la derivada de $125 - p^{2}$ con respecto a $p$ es $\frac{d}{d p} [125] + \frac{d}{d p} [- p^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d p} [125] + \frac{d}{d p} [- p^{2}])$

Paso 4.8

Como $125$ es constante con respecto a $p$ , la derivada de $125$ con respecto a $p$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d p} [- p^{2}])$

Paso 4.9

Suma $0$ y $\frac{d}{d p} [- p^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d p} [- p^{2}]$

Paso 4.10

Como $- 1$ es constante con respecto a $p$ , la derivada de $- p^{2}$ con respecto a $p$ es $- \frac{d}{d p} [p^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d p} [p^{2}])$

Paso 4.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ es $n p^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 p))$

Paso 4.12

Simplifica los términos.

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Paso 4.12.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 p)$

Paso 4.12.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} p$

Paso 4.12.3

Combina $\frac{- 2}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $p$ .

$\frac{- 2 p}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.12.4

Factoriza $2$ de $- 2 p$ .

$\frac{2 (- p)}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.13.1

Factoriza $2$ de $2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- p)}{2 ({(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 4.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- p)}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- p}{{(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{p}{{(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x' = - \frac{p}{{(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d p}$ .

$\frac{d x}{d p} = - \frac{p}{{(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$