Cálculo Ejemplos

$w = 2 z^{2} e^{z}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d z} (w) = \frac{d}{d z} (2 z^{2} e^{z})$

Paso 2

La derivada de $w$ con respecto a $z$ es $w'$ .

$w'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $2 z^{2} e^{z}$ con respecto a $z$ es $2 \frac{d}{d z} [z^{2} e^{z}]$ .

$2 \frac{d}{d z} [z^{2} e^{z}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ es $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ donde $f (z) = z^{2}$ y $g (z) = e^{z}$ .

$2 (z^{2} \frac{d}{d z} [e^{z}] + e^{z} \frac{d}{d z} [z^{2}])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d z} [a^{z}]$ es $a^{z} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2 (z^{2} e^{z} + e^{z} \frac{d}{d z} [z^{2}])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (z^{2} e^{z} + e^{z} (2 z))$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (z^{2} e^{z}) + 2 (e^{z} (2 z))$

Paso 3.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 z^{2} e^{z} + 4 e^{z} z$

Paso 3.5.3

Reordena los términos.

$2 e^{z} z^{2} + 4 e^{z} z$

Paso 3.5.4

Reordena los factores en $2 e^{z} z^{2} + 4 e^{z} z$ .

$2 z^{2} e^{z} + 4 z e^{z}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$w' = 2 z^{2} e^{z} + 4 z e^{z}$

Paso 5

Reemplaza $w'$ con $\frac{d w}{d z}$ .

$\frac{d w}{d z} = 2 z^{2} e^{z} + 4 z e^{z}$