Cálculo Ejemplos

$x^{3} + y^{3} = 3 x y^{2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (3 x y^{2})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x y^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y^{2}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$3 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$3 (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Paso 3.7

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$3 (2 x y y' + y^{2})$

Paso 3.8

Simplifica.

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Paso 3.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (2 x y y') + 3 y^{2}$

Paso 3.8.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x y y' + 3 y^{2}$

Paso 3.8.3

Reordena los términos.

$3 y^{2} + 6 x y y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 3 y^{2} + 6 x y y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $6 x y y'$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 6 x y y' = 3 y^{2}$

Paso 5.2

Resta $3 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} y' - 6 x y y' = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

Paso 5.3

Factoriza $3 y y'$ de $3 y^{2} y' - 6 x y y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $3 y y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$3 y y' y - 6 x y y' = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

Paso 5.3.2

Factoriza $3 y y'$ de $- 6 x y y'$ .

$3 y y' y + 3 y y' (- 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

Paso 5.3.3

Factoriza $3 y y'$ de $3 y y' y + 3 y y' (- 2 x)$ .

$3 y y' (y - 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

Paso 5.4

Divide cada término en $3 y y' (y - 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$ por $3 y (y - 2 x)$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $3 y y' (y - 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$ por $3 y (y - 2 x)$ .

$\frac{3 y y' (y - 2 x)}{3 y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y y' (y - 2 x)}{3 y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y' (y - 2 x)}{y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y' (y - 2 x)}{y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Paso 5.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (y - 2 x)}{y - 2 x} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Paso 5.4.2.3

Cancela el factor común de $y - 2 x$ .

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Paso 5.4.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y - 2 x)}{y - 2 x} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Paso 5.4.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.3.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.4.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Paso 5.4.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{y^{2}}{y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Paso 5.4.3.1.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 5.4.3.1.2.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Paso 5.4.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{y \cdot y}{y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Paso 5.4.3.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Paso 5.4.3.1.3

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 5.4.3.1.3.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 y (y - 2 x)}$

Paso 5.4.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.1.3.2.1

Factoriza $3$ de $3 y (y - 2 x)$ .

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y (y - 2 x))}$

Paso 5.4.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y (y - 2 x))}$

Paso 5.4.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{- x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Paso 5.4.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Paso 5.4.3.2

Para escribir $\frac{y}{y - 2 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y}{y - 2 x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Paso 5.4.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(y - 2 x) y$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.4.3.3.1

Multiplica $\frac{y}{y - 2 x}$ por $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{(y - 2 x) y} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Paso 5.4.3.3.2

Reordena los factores de $(y - 2 x) y$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{y (y - 2 x)} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Paso 5.4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{y \cdot y - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Paso 5.4.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.3.5.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y' = \frac{y^{1} y - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Paso 5.4.3.5.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y' = \frac{y^{1} y^{1} - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Paso 5.4.3.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' = \frac{y^{1 + 1} - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Paso 5.4.3.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$y' = \frac{y^{2} - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Paso 5.4.3.5.5

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = x$ .

$y' = \frac{(y + x) (y - x)}{y (y - 2 x)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + x) (y - x)}{y (y - 2 x)}$