Cálculo Ejemplos

$x = \frac{500}{\ln (p^{2} + 1)}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d p} (x) = \frac{d}{d p} (\frac{500}{\ln (p^{2} + 1)})$

Paso 2

La derivada de $x$ con respecto a $p$ es $x'$ .

$x'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 3.1.1

Como $500$ es constante con respecto a $p$ , la derivada de $\frac{500}{\ln (p^{2} + 1)}$ con respecto a $p$ es $500 \frac{d}{d p} [\frac{1}{\ln (p^{2} + 1)}]$ .

$500 \frac{d}{d p} [\frac{1}{\ln (p^{2} + 1)}]$

Paso 3.1.2

Reescribe $\frac{1}{\ln (p^{2} + 1)}$ como $\ln^{- 1} (p^{2} + 1)$ .

$500 \frac{d}{d p} [\ln^{- 1} (p^{2} + 1)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ es $f' (g (p)) g' (p)$ donde $f (p) = p^{- 1}$ y $g (p) = \ln (p^{2} + 1)$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\ln (p^{2} + 1)$ .

$500 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$500 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\ln (p^{2} + 1)$ .

$500 (- \ln^{- 2} (p^{2} + 1) \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

Paso 3.3

Multiplica $- 1$ por $500$ .

$- 500 (\ln^{- 2} (p^{2} + 1) \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ es $f' (g (p)) g' (p)$ donde $f (p) = \ln (p)$ y $g (p) = p^{2} + 1$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $p^{2} + 1$ .

$- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d p} [p^{2} + 1])$

Paso 3.4.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1])$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $p^{2} + 1$ .

$- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1) (\frac{1}{p^{2} + 1} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1])$

Paso 3.5

Diferencia.

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Paso 3.5.1

Combina $\frac{1}{p^{2} + 1}$ y $- 500$ .

$\frac{- 500}{p^{2} + 1} \ln^{- 2} (p^{2} + 1) \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

Paso 3.5.2

Combina fracciones.

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Paso 3.5.2.1

Combina $\frac{- 500}{p^{2} + 1}$ y $\ln^{- 2} (p^{2} + 1)$ .

$\frac{- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1)}{p^{2} + 1} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

Paso 3.5.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.2.2.1

Mueve $\ln^{- 2} (p^{2} + 1)$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

Paso 3.5.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

Paso 3.5.3

Según la regla de la suma, la derivada de $p^{2} + 1$ con respecto a $p$ es $\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [1]$ .

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [1])$

Paso 3.5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ es $n p^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (2 p + \frac{d}{d p} [1])$

Paso 3.5.5

Como $1$ es constante con respecto a $p$ , la derivada de $1$ con respecto a $p$ es $0$ .

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (2 p + 0)$

Paso 3.5.6

Combina fracciones.

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Paso 3.5.6.1

Suma $2 p$ y $0$ .

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (2 p)$

Paso 3.5.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} p$

Paso 3.5.6.3

Combina $- 2$ y $\frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$ .

$\frac{- 2 \cdot 500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} p$

Paso 3.5.6.4

Multiplica $- 2$ por $500$ .

$\frac{- 1000}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} p$

Paso 3.5.6.5

Combina $\frac{- 1000}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$ y $p$ .

$\frac{- 1000 p}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$

Paso 3.5.6.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.6.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1000 p}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$

Paso 3.5.6.6.2

Reordena los factores en $- \frac{1000 p}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$ .

$- \frac{1000 p}{\ln^{2} (p^{2} + 1) (p^{2} + 1)}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x' = - \frac{1000 p}{\ln^{2} (p^{2} + 1) (p^{2} + 1)}$

Paso 5

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d p}$ .

$\frac{d x}{d p} = - \frac{1000 p}{\ln^{2} (p^{2} + 1) (p^{2} + 1)}$