Cálculo Ejemplos

$V = p r^{2} (2 p r - 24)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d r} (V) = \frac{d}{d r} (p r^{2} (2 p r - 24))$

Paso 2

La derivada de $V$ con respecto a $r$ es $V'$ .

$V'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $p$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $p r^{2} (2 p r - 24)$ con respecto a $r$ es $p \frac{d}{d r} [r^{2} (2 p r - 24)]$ .

$p \frac{d}{d r} [r^{2} (2 p r - 24)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ es $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ donde $f (r) = r^{2}$ y $g (r) = 2 p r - 24$ .

$p (r^{2} \frac{d}{d r} [2 p r - 24] + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 p r - 24$ con respecto a $r$ es $\frac{d}{d r} [2 p r] + \frac{d}{d r} [- 24]$ .

$p (r^{2} (\frac{d}{d r} [2 p r] + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Paso 3.3.2

Como $2 p$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $2 p r$ con respecto a $r$ es $2 p \frac{d}{d r} [r]$ .

$p (r^{2} (2 p \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$p (r^{2} (2 p \cdot 1 + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Paso 3.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$p (r^{2} (2 p + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Paso 3.3.5

Como $- 24$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $- 24$ con respecto a $r$ es $0$ .

$p (r^{2} (2 p + 0) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Paso 3.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.6.1

Suma $2 p$ y $0$ .

$p (r^{2} (2 p) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Paso 3.3.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $r^{2}$ .

$p (2 \cdot r^{2} p + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Paso 3.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$p (2 r^{2} p + (2 p r - 24) (2 r))$

Paso 3.3.8

Mueve $2$ a la izquierda de $2 p r - 24$ .

$p (2 r^{2} p + 2 \cdot (2 p r - 24) r)$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (2 r^{2} p + (2 (2 p r) + 2 \cdot - 24) r)$

Paso 3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (2 r^{2} p + 2 (2 p r) r + 2 \cdot - 24 r)$

Paso 3.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (2 r^{2} p) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Paso 3.4.4

Combina los términos.

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Paso 3.4.4.1

Eleva $p$ a la potencia de $1$ .

$p^{1} p (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Paso 3.4.4.2

Eleva $p$ a la potencia de $1$ .

$p^{1} p^{1} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Paso 3.4.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p^{1 + 1} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Paso 3.4.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$p^{2} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Paso 3.4.4.5

Mueve $2$ a la izquierda de $p^{2}$ .

$2 \cdot p^{2} r^{2} + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Paso 3.4.4.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 p^{2} r^{2} + p (4 (p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Paso 3.4.4.7

Eleva $r$ a la potencia de $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p (r^{1} r)) + p (2 \cdot - 24 r)$

Paso 3.4.4.8

Eleva $r$ a la potencia de $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p (r^{1} r^{1})) + p (2 \cdot - 24 r)$

Paso 3.4.4.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p r^{1 + 1}) + p (2 \cdot - 24 r)$

Paso 3.4.4.10

Suma $1$ y $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p r^{2}) + p (2 \cdot - 24 r)$

Paso 3.4.4.11

Eleva $p$ a la potencia de $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + 4 (p^{1} p) r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

Paso 3.4.4.12

Eleva $p$ a la potencia de $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + 4 (p^{1} p^{1}) r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

Paso 3.4.4.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{1 + 1} r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

Paso 3.4.4.14

Suma $1$ y $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{2} r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

Paso 3.4.4.15

Multiplica $2$ por $- 24$ .

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{2} r^{2} + p (- 48 r)$

Paso 3.4.4.16

Suma $2 p^{2} r^{2}$ y $4 p^{2} r^{2}$ .

$6 p^{2} r^{2} + p (- 48 r)$

Paso 3.4.5

Reordena los términos.

$6 p^{2} r^{2} - 48 p r$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$V' = 6 p^{2} r^{2} - 48 p r$

Paso 5

Reemplaza $V'$ con $\frac{d V}{d r}$ .

$\frac{d V}{d r} = 6 p^{2} r^{2} - 48 p r$