Cálculo Ejemplos

$x^{2} - x p + p^{3} = 8$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d p} (x^{2} - x p + p^{3}) = \frac{d}{d p} (8)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - x p + p^{3}$ con respecto a $p$ es $\frac{d}{d p} [x^{2}] + \frac{d}{d p} [- x p] + \frac{d}{d p} [p^{3}]$ .

$\frac{d}{d p} [x^{2}] + \frac{d}{d p} [- x p] + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d p} [x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ es $f' (g (p)) g' (p)$ donde $f (p) = p^{2}$ y $g (p) = x$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d p} [x] + \frac{d}{d p} [- x p] + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Paso 2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d p} [x] + \frac{d}{d p} [- x p] + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$2 x \frac{d}{d p} [x] + \frac{d}{d p} [- x p] + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d p} [x]$ como $x'$ .

$2 x x' + \frac{d}{d p} [- x p] + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d p} [- x p]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $p$ , la derivada de $- x p$ con respecto a $p$ es $- \frac{d}{d p} [x p]$ .

$2 x x' - \frac{d}{d p} [x p] + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d p} [f (p) g (p)]$ es $f (p) \frac{d}{d p} [g (p)] + g (p) \frac{d}{d p} [f (p)]$ donde $f (p) = x$ y $g (p) = p$ .

$2 x x' - (x \frac{d}{d p} [p] + p \frac{d}{d p} [x]) + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ es $n p^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x x' - (x \cdot 1 + p \frac{d}{d p} [x]) + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Paso 2.3.4

Reescribe $\frac{d}{d p} [x]$ como $x'$ .

$2 x x' - (x \cdot 1 + p x') + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Paso 2.3.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$2 x x' - (x + p x') + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ es $n p^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 x x' - (x + p x') + 3 p^{2}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x x' - x - (p x') + 3 p^{2}$

Paso 2.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 x x' - x - p x' + 3 p^{2}$

Paso 2.5.3

Reordena los términos.

$3 p^{2} + 2 x x' - p x' - x$

Paso 3

Como $8$ es constante con respecto a $p$ , la derivada de $8$ con respecto a $p$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 p^{2} + 2 x x' - p x' - x = 0$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $x'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $3 p^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x x' - p x' - x = - 3 p^{2}$

Paso 5.1.2

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x x' - p x' = - 3 p^{2} + x$

Paso 5.2

Factoriza $x'$ de $2 x x' - p x'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $x'$ de $2 x x'$ .

$x' (2 x) - p x' = - 3 p^{2} + x$

Paso 5.2.2

Factoriza $x'$ de $- p x'$ .

$x' (2 x) + x' (- p) = - 3 p^{2} + x$

Paso 5.2.3

Factoriza $x'$ de $x' (2 x) + x' (- p)$ .

$x' (2 x - p) = - 3 p^{2} + x$

Paso 5.3

Divide cada término en $x' (2 x - p) = - 3 p^{2} + x$ por $2 x - p$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $x' (2 x - p) = - 3 p^{2} + x$ por $2 x - p$ .

$\frac{x' (2 x - p)}{2 x - p} = \frac{- 3 p^{2}}{2 x - p} + \frac{x}{2 x - p}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $2 x - p$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (2 x - p)}{2 x - p} = \frac{- 3 p^{2}}{2 x - p} + \frac{x}{2 x - p}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- 3 p^{2}}{2 x - p} + \frac{x}{2 x - p}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x' = \frac{- 3 p^{2} + x}{2 x - p}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 3 p^{2}$ .

$x' = \frac{- (3 p^{2}) + x}{2 x - p}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$x' = \frac{- (3 p^{2}) - 1 (- x)}{2 x - p}$

Paso 5.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (3 p^{2}) - 1 (- x)$ .

$x' = \frac{- (3 p^{2} - x)}{2 x - p}$

Paso 5.3.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.5.1

Reescribe $- (3 p^{2} - x)$ como $- 1 (3 p^{2} - x)$ .

$x' = \frac{- 1 (3 p^{2} - x)}{2 x - p}$

Paso 5.3.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{3 p^{2} - x}{2 x - p}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d p}$ .

$\frac{d x}{d p} = - \frac{3 p^{2} - x}{2 x - p}$