Cálculo Ejemplos

$v = \frac{1}{3} \cdot (p (2 a x^{2} - x^{3}))$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$x' = \frac{1}{3} \cdot (p (2 a x^{2} - x^{3}))$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x'} x' = \frac{d}{d x'} (\frac{1}{3} \cdot (p (2 a x^{2} - x^{3})))$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [{x'}^{n}]$ es $n {x'}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia.

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Paso 4.1.1

Combina $p$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{p}{3} \cdot (2 a x^{2} - x^{3})]$

Paso 4.1.2

Como $\frac{p}{3}$ es constante con respecto a $x'$ , la derivada de $\frac{p}{3} (2 a x^{2} - x^{3})$ con respecto a $x'$ es $\frac{p}{3} \frac{d}{d v} [2 a x^{2} - x^{3}]$ .

$\frac{p}{3} \frac{d}{d v} [2 a x^{2} - x^{3}]$

Paso 4.1.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 a x^{2} - x^{3}$ con respecto a $x'$ es $\frac{d}{d v} [2 a x^{2}] + \frac{d}{d v} [- x^{3}]$ .

$\frac{p}{3} (\frac{d}{d v} [2 a x^{2}] + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

Paso 4.1.4

Como $2 a$ es constante con respecto a $x'$ , la derivada de $2 a x^{2}$ con respecto a $x'$ es $2 a \frac{d}{d v} [x^{2}]$ .

$\frac{p}{3} (2 a \frac{d}{d v} [x^{2}] + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d v} [f (g (x'))]$ es $f' (g (x')) g' (x')$ donde $f (x') = {x'}^{2}$ y $g (x') = x$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x$ .

$\frac{p}{3} (2 a (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d v} [x]) + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{p}{3} (2 a (2 u_{1} \frac{d}{d v} [x]) + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x$ .

$\frac{p}{3} (2 a (2 x \frac{d}{d v} [x]) + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

Paso 4.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{p}{3} (4 a (x \frac{d}{d v} [x]) + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

Paso 4.4

Reescribe $\frac{d}{d v} [x]$ como $x'$ .

$\frac{p}{3} (4 a x x' + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

Paso 4.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x'$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x'$ es $- \frac{d}{d v} [x^{3}]$ .

$\frac{p}{3} (4 a x x' - \frac{d}{d v} [x^{3}])$

Paso 4.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d v} [f (g (x'))]$ es $f' (g (x')) g' (x')$ donde $f (x') = {x'}^{3}$ y $g (x') = x$ .

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Paso 4.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x$ .

$\frac{p}{3} (4 a x x' - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d v} [x]))$

Paso 4.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{p}{3} (4 a x x' - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d v} [x]))$

Paso 4.6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x$ .

$\frac{p}{3} (4 a x x' - (3 x^{2} \frac{d}{d v} [x]))$

Paso 4.7

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{p}{3} (4 a x x' - 3 (x^{2} \frac{d}{d v} [x]))$

Paso 4.8

Reescribe $\frac{d}{d v} [x]$ como $x'$ .

$\frac{p}{3} (4 a x x' - 3 x^{2} x')$

Paso 4.9

Simplifica.

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Paso 4.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{p}{3} (4 a x x') + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

Paso 4.9.2

Combina los términos.

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Paso 4.9.2.1

Combina $4$ y $\frac{p}{3}$ .

$\frac{4 p}{3} (a x x') + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

Paso 4.9.2.2

Combina $a$ y $\frac{4 p}{3}$ .

$\frac{a (4 p)}{3} (x x') + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

Paso 4.9.2.3

Combina $x$ y $\frac{a (4 p)}{3}$ .

$\frac{x (a (4 p))}{3} x' + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

Paso 4.9.2.4

Combina $\frac{x (a (4 p))}{3}$ y $x'$ .

$\frac{x (a (4 p)) x'}{3} + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

Paso 4.9.2.5

Mueve $4$ a la izquierda de $a$ .

$\frac{x (4 \cdot a p) x'}{3} + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

Paso 4.9.2.6

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{4 \cdot x a p x'}{3} + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

Paso 4.9.2.7

Combina $- 3$ y $\frac{p}{3}$ .

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{- 3 p}{3} (x^{2} x')$

Paso 4.9.2.8

Combina $x^{2}$ y $\frac{- 3 p}{3}$ .

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{x^{2} (- 3 p)}{3} x'$

Paso 4.9.2.9

Combina $\frac{x^{2} (- 3 p)}{3}$ y $x'$ .

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{x^{2} (- 3 p) x'}{3}$

Paso 4.9.2.10

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 4.9.2.10.1

Factoriza $3$ de $x^{2} (- 3 p) x'$ .

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{3 (x^{2} (- p) x')}{3}$

Paso 4.9.2.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.9.2.10.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{3 (x^{2} (- p) x')}{3 (1)}$

Paso 4.9.2.10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{3 (x^{2} (- p) x')}{3 \cdot 1}$

Paso 4.9.2.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{x^{2} (- p) x'}{1}$

Paso 4.9.2.10.2.4

Divide $x^{2} (- p) x'$ por $1$ .

$\frac{4 x a p x'}{3} + x^{2} (- p) x'$

Paso 4.9.3

Reordena los términos.

$\frac{4 x a p x'}{3} - x^{2} p x'$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = \frac{4 x a p x'}{3} - x^{2} p x'$

Paso 6

Resuelve $x'$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $\frac{4 x a p x'}{3} - x^{2} p x' = 1$ .

$\frac{4 x a p x'}{3} - x^{2} p x' = 1$

Paso 6.2

Factoriza $x p x'$ de $\frac{4 x a p x'}{3} - x^{2} p x'$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $x p x'$ de $\frac{4 x a p x'}{3}$ .

$x p x' \frac{4 a}{3} - x^{2} p x' = 1$

Paso 6.2.2

Factoriza $x p x'$ de $- x^{2} p x'$ .

$x p x' \frac{4 a}{3} + x p x' (- x) = 1$

Paso 6.2.3

Factoriza $x p x'$ de $x p x' \frac{4 a}{3} + x p x' (- x)$ .

$x p x' (\frac{4 a}{3} - x) = 1$

Paso 6.3

Divide cada término en $x p x' (\frac{4 a}{3} - x) = 1$ por $x p (\frac{4 a}{3} - x)$ y simplifica.

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Paso 6.3.1

Divide cada término en $x p x' (\frac{4 a}{3} - x) = 1$ por $x p (\frac{4 a}{3} - x)$ .

$\frac{x p x' (\frac{4 a}{3} - x)}{x p (\frac{4 a}{3} - x)} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x p x' (\frac{4 a}{3} - x)}{x p (\frac{4 a}{3} - x)} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

Paso 6.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{p x' (\frac{4 a}{3} - x)}{p (\frac{4 a}{3} - x)} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

Paso 6.3.2.2

Cancela el factor común de $p$ .

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Paso 6.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{p x' (\frac{4 a}{3} - x)}{p (\frac{4 a}{3} - x)} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

Paso 6.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x' (\frac{4 a}{3} - x)}{\frac{4 a}{3} - x} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

Paso 6.3.2.3

Cancela el factor común de $\frac{4 a}{3} - x$ .

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Paso 6.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (\frac{4 a}{3} - x)}{\frac{4 a}{3} - x} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

Paso 6.3.2.3.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

Paso 6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.3.3.1.1

Para escribir $- x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x' = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x \cdot \frac{3}{3})}$

Paso 6.3.3.1.2

Combina $- x$ y $\frac{3}{3}$ .

$x' = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} + \frac{- x \cdot 3}{3})}$

Paso 6.3.3.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x' = \frac{1}{x p \frac{4 a - x \cdot 3}{3}}$

Paso 6.3.3.1.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$x' = \frac{1}{x p \frac{4 a - 3 x}{3}}$

Paso 6.3.3.1.5

Combina exponentes.

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Paso 6.3.3.1.5.1

Combina $x$ y $\frac{4 a - 3 x}{3}$ .

$x' = \frac{1}{p \frac{x (4 a - 3 x)}{3}}$

Paso 6.3.3.1.5.2

Combina $p$ y $\frac{x (4 a - 3 x)}{3}$ .

$x' = \frac{1}{\frac{p (x (4 a - 3 x))}{3}}$

Paso 6.3.3.1.6

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x' = \frac{1}{\frac{p x (4 a - 3 x)}{3}}$

Paso 6.3.3.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x' = 1 \frac{3}{p x (4 a - 3 x)}$

Paso 6.3.3.3

Multiplica $\frac{3}{p x (4 a - 3 x)}$ por $1$ .

$x' = \frac{3}{p x (4 a - 3 x)}$

Paso 7

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d v}$ .

$\frac{d x}{d v} = \frac{3}{p x (4 a - 3 x)}$