Cálculo Ejemplos

$x^{2} y + y x^{2} = 6$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (x^{2} y + y x^{2}) = \frac{d}{d y} (6)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} y + y x^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = x^{2}$ y $g (y) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{2}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 u_{1} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Paso 2.2.4

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Paso 2.2.5

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Paso 2.2.6

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$x^{2} + 2 y x x' + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = y$ y $g (y) = x^{2}$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{2}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 x x') + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 x x') + x^{2} \cdot 1$

Paso 2.3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$x^{2} + 2 y x x' + 2 \cdot y x x' + x^{2} \cdot 1$

Paso 2.3.6

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + 2 y x x' + 2 y x x' + x^{2}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Combina los términos.

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Paso 2.4.1.1

Suma $2 y x x'$ y $2 y x x'$ .

$x^{2} + 4 y x x' + x^{2}$

Paso 2.4.1.2

Suma $x^{2}$ y $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 4 y x x'$

Paso 2.4.2

Reordena los términos.

$2 x^{2} + 4 x y x'$

Paso 3

Como $6$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $6$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 x^{2} + 4 x y x' = 0$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Resta $2 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x y x' = - 2 x^{2}$

Paso 5.2

Divide cada término en $4 x y x' = - 2 x^{2}$ por $4 x y$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $4 x y x' = - 2 x^{2}$ por $4 x y$ .

$\frac{4 x y x'}{4 x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x y x'}{4 x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x y x'}{x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y x'}{x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Paso 5.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y x'}{y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Paso 5.2.2.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y x'}{y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Paso 5.2.2.3.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $4$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$x' = \frac{2 (- x^{2})}{4 x y}$

Paso 5.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $4 x y$ .

$x' = \frac{2 (- x^{2})}{2 (2 x y)}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x' = \frac{2 (- x^{2})}{2 (2 x y)}$

Paso 5.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x' = \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Factoriza $x$ de $- x^{2}$ .

$x' = \frac{x (- x)}{2 x y}$

Paso 5.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.2.2.1

Factoriza $x$ de $2 x y$ .

$x' = \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

Paso 5.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$x' = \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

Paso 5.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x' = \frac{- x}{2 y}$

Paso 5.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{x}{2 y}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{2 y}$