Cálculo Ejemplos

$x^{3} - y^{3} = 2 x y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (x^{3} - y^{3}) = \frac{d}{d y} (2 x y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - y^{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d y} [x^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{3}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Paso 2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$3 x^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$3 x^{2} x' + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y^{3}$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$3 x^{2} x' - \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} x' - (3 y^{2})$

Paso 2.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$3 x^{2} x' - 3 y^{2}$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} x'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [x y]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = x$ y $g (y) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Paso 3.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$2 (x + y \frac{d}{d y} [x])$

Paso 3.4

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$2 (x + y x')$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 2 (y x')$

Paso 3.5.2

Reordena los términos.

$2 y x' + 2 x$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} x' = 2 y x' + 2 x$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Resta $2 y x'$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 2 y x' = 2 x$

Paso 5.2

Suma $3 y^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} x' - 2 y x' = 2 x + 3 y^{2}$

Paso 5.3

Factoriza $x'$ de $3 x^{2} x' - 2 y x'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $x'$ de $3 x^{2} x'$ .

$x' (3 x^{2}) - 2 y x' = 2 x + 3 y^{2}$

Paso 5.3.2

Factoriza $x'$ de $- 2 y x'$ .

$x' (3 x^{2}) + x' (- 2 y) = 2 x + 3 y^{2}$

Paso 5.3.3

Factoriza $x'$ de $x' (3 x^{2}) + x' (- 2 y)$ .

$x' (3 x^{2} - 2 y) = 2 x + 3 y^{2}$

Paso 5.4

Divide cada término en $x' (3 x^{2} - 2 y) = 2 x + 3 y^{2}$ por $3 x^{2} - 2 y$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $x' (3 x^{2} - 2 y) = 2 x + 3 y^{2}$ por $3 x^{2} - 2 y$ .

$\frac{x' (3 x^{2} - 2 y)}{3 x^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{3 x^{2} - 2 y} + \frac{3 y^{2}}{3 x^{2} - 2 y}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $3 x^{2} - 2 y$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (3 x^{2} - 2 y)}{3 x^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{3 x^{2} - 2 y} + \frac{3 y^{2}}{3 x^{2} - 2 y}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{2 x}{3 x^{2} - 2 y} + \frac{3 y^{2}}{3 x^{2} - 2 y}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x' = \frac{2 x + 3 y^{2}}{3 x^{2} - 2 y}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{2 x + 3 y^{2}}{3 x^{2} - 2 y}$