Cálculo Ejemplos

$x^{2} - y^{2} = 9$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (x^{2} - y^{2}) = \frac{d}{d y} (9)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{2}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Paso 2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$2 x x' + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$2 x x' - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x x' - (2 y)$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 x x' - 2 y$

Paso 3

Como $9$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $9$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 x x' - 2 y = 0$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Suma $2 y$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x x' = 2 y$

Paso 5.2

Divide cada término en $2 x x' = 2 y$ por $2 x$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $2 x x' = 2 y$ por $2 x$ .

$\frac{2 x x'}{2 x} = \frac{2 y}{2 x}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x x'}{2 x} = \frac{2 y}{2 x}$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x x'}{x} = \frac{2 y}{2 x}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x x'}{x} = \frac{2 y}{2 x}$

Paso 5.2.2.2.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{2 y}{2 x}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Cancela el factor común.

$x' = \frac{2 y}{2 x}$

Paso 5.2.3.1.2

Reescribe la expresión.

$x' = \frac{y}{x}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{y}{x}$