Cálculo Ejemplos

$C (20) = 9 + \sqrt{2 x + 24}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x + 24}$ como ${(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}$ .

$C (20) = 9 + {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (C (20)) = \frac{d}{d x} (9 + {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 3

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Mueve $20$ a la izquierda de $C$ .

$\frac{d}{d x} [20 C]$

Paso 3.2

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $20 C$ con respecto a $x$ es $20 \frac{d}{d x} [C]$ .

$20 \frac{d}{d x} [C]$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [C]$ como $C'$ .

$20 C'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 + {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.1.2

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}]$ .

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Paso 4.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 2 x + 24$ .

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Paso 4.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x + 24$ .

$0 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + 24]$

Paso 4.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 24]$

Paso 4.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 24$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 24]$

Paso 4.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 24$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [24]$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [24])$

Paso 4.2.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [24])$

Paso 4.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [24])$

Paso 4.2.5

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + 0)$

Paso 4.2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

Paso 4.2.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

Paso 4.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

Paso 4.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

Paso 4.2.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{- 1}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

Paso 4.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

Paso 4.2.11

Multiplica $2$ por $1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}} (2 + 0)$

Paso 4.2.12

Suma $2$ y $0$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2$

Paso 4.2.13

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{{(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 2$

Paso 4.2.14

Combina $\frac{{(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $2$ .

$0 + \frac{{(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

Paso 4.2.15

Mueve $2$ a la izquierda de ${(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{2 \cdot {(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 4.2.16

Mueve ${(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{2}{2 {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.2.17

Cancela el factor común.

$0 + \frac{2}{2 {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.2.18

Reescribe la expresión.

$0 + \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.3

Suma $0$ y $\frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$20 C' = \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Divide cada término en $20 C' = \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$ por $20$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $20 C' = \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$ por $20$ .

$\frac{20 C'}{20} = \frac{\frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}}{20}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $20$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{20 C'}{20} = \frac{\frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}}{20}$

Paso 6.2.1.2

Divide $C'$ por $1$ .

$C' = \frac{\frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}}{20}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$C' = \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{20}$

Paso 6.3.2

Combinar.

$C' = \frac{1 \cdot 1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Paso 6.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 6.3.3.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$C' = \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Paso 6.3.3.2

Mueve $20$ a la izquierda de ${(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}$ .

$C' = \frac{1}{20 {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7

Reemplaza $C'$ con $\frac{d C}{d x}$ .

$\frac{d C}{d x} = \frac{1}{20 {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$