Cálculo Ejemplos

$g (a - 3) = \frac{1}{(a + 3) - 3}$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$g (a - 3) = \frac{1}{a + 3 - 3}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d a} (g (a - 3)) = \frac{d}{d a} (\frac{1}{a + 3 - 3})$

Paso 3

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d a} [f (a) g (a)]$ es $f (a) \frac{d}{d a} [g (a)] + g (a) \frac{d}{d a} [f (a)]$ donde $f (a) = g$ y $g (a) = a - 3$ .

$g \frac{d}{d a} [a - 3] + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $a - 3$ con respecto a $a$ es $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- 3]$ .

$g (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- 3]) + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ es $n a^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$g (1 + \frac{d}{d a} [- 3]) + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

Paso 3.2.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $a$ es $0$ .

$g (1 + 0) + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

Paso 3.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$g \cdot 1 + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $g$ por $1$ .

$g + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d a} [g]$ como $g'$ .

$g + (a - 3) g'$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$g + a g' - 3 g'$

Paso 3.4.2

Reordena los términos.

$a g' + g - 3 g'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.1

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{d}{d a} [\frac{1}{a + 0}]$

Paso 4.1.2

Suma $a$ y $0$ .

$\frac{d}{d a} [\frac{1}{a}]$

Paso 4.1.3

Reescribe $\frac{1}{a}$ como $a^{- 1}$ .

$\frac{d}{d a} [a^{- 1}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ es $n a^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- a^{- 2}$

Paso 4.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{a^{2}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$a g' + g - 3 g' = - \frac{1}{a^{2}}$

Paso 6

Resuelve $g'$

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Paso 6.1

Resta $g$ de ambos lados de la ecuación.

$a g' - 3 g' = - \frac{1}{a^{2}} - g$

Paso 6.2

Factoriza $g'$ de $a g' - 3 g'$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $g'$ de $a g'$ .

$g' a - 3 g' = - \frac{1}{a^{2}} - g$

Paso 6.2.2

Factoriza $g'$ de $- 3 g'$ .

$g' a + g' \cdot - 3 = - \frac{1}{a^{2}} - g$

Paso 6.2.3

Factoriza $g'$ de $g' a + g' \cdot - 3$ .

$g' (a - 3) = - \frac{1}{a^{2}} - g$

Paso 6.3

Divide cada término en $g' (a - 3) = - \frac{1}{a^{2}} - g$ por $a - 3$ y simplifica.

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Paso 6.3.1

Divide cada término en $g' (a - 3) = - \frac{1}{a^{2}} - g$ por $a - 3$ .

$\frac{g' (a - 3)}{a - 3} = \frac{- \frac{1}{a^{2}}}{a - 3} + \frac{- g}{a - 3}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1

Cancela el factor común de $a - 3$ .

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Paso 6.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{g' (a - 3)}{a - 3} = \frac{- \frac{1}{a^{2}}}{a - 3} + \frac{- g}{a - 3}$

Paso 6.3.2.1.2

Divide $g'$ por $1$ .

$g' = \frac{- \frac{1}{a^{2}}}{a - 3} + \frac{- g}{a - 3}$

Paso 6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$g' = - \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{1}{a - 3} + \frac{- g}{a - 3}$

Paso 6.3.3.1.2

Multiplica $\frac{1}{a - 3}$ por $\frac{1}{a^{2}}$ .

$g' = - \frac{1}{(a - 3) a^{2}} + \frac{- g}{a - 3}$

Paso 6.3.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$g' = - \frac{1}{(a - 3) a^{2}} - \frac{g}{a - 3}$

Paso 6.3.3.2

Para escribir $- \frac{g}{a - 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a^{2}}{a^{2}}$ .

$g' = - \frac{1}{(a - 3) a^{2}} - \frac{g}{a - 3} \cdot \frac{a^{2}}{a^{2}}$

Paso 6.3.3.3

Multiplica $\frac{g}{a - 3}$ por $\frac{a^{2}}{a^{2}}$ .

$g' = - \frac{1}{(a - 3) a^{2}} - \frac{g a^{2}}{(a - 3) a^{2}}$

Paso 6.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$g' = \frac{- 1 - g a^{2}}{(a - 3) a^{2}}$

Paso 6.3.3.5

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$g' = \frac{- 1 (1) - g a^{2}}{(a - 3) a^{2}}$

Paso 6.3.3.6

Factoriza $- 1$ de $- g a^{2}$ .

$g' = \frac{- 1 (1) - (g a^{2})}{(a - 3) a^{2}}$

Paso 6.3.3.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (g a^{2})$ .

$g' = \frac{- 1 (1 + g a^{2})}{(a - 3) a^{2}}$

Paso 6.3.3.8

Simplifica la expresión.

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Paso 6.3.3.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$g' = - \frac{1 + g a^{2}}{(a - 3) a^{2}}$

Paso 6.3.3.8.2

Reordena los factores en $- \frac{1 + g a^{2}}{(a - 3) a^{2}}$ .

$g' = - \frac{1 + g a^{2}}{a^{2} (a - 3)}$

Paso 7

Reemplaza $g'$ con $\frac{d g}{d a}$ .

$\frac{d g}{d a} = - \frac{1 + g a^{2}}{a^{2} (a - 3)}$