Cálculo Ejemplos

$\sin (h (x)) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$

Paso 1

Multiplica $h$ por $x$ .

$\sin (h x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\sin (h x)) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} - e^{- x}}{2})$

Paso 3

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = h x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $h x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [h x]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [h x]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $h x$ .

$\cos (h x) \frac{d}{d x} [h x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = h$ y $g (x) = x$ .

$\cos (h x) (h \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [h])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (h x) (h \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [h])$

Paso 3.3.2

Multiplica $h$ por $1$ .

$\cos (h x) (h + x \frac{d}{d x} [h])$

Paso 3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [h]$ como $h'$ .

$\cos (h x) (h + x h')$

Paso 3.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (h x) h + \cos (h x) (x h')$

Paso 3.5.2

Reordena los términos.

$h \cos (h x) + x \cos (h x) h'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} - e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])$

Paso 4.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{- x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]))$

Paso 4.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]))$

Paso 4.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

Paso 4.5

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 4.5.2

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + 1 e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.5.2.2

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \cdot 1)$

Paso 4.5.4

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$

Paso 4.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} e^{- x}$

Paso 4.6.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} e^{- x}$

Paso 4.6.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{- x}$ .

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$h \cos (h x) + x \cos (h x) h' = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

Paso 6

Resuelve $h'$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Reordena los factores en $h \cos (h x) + x \cos (h x) h'$ .

$h \cos (h x) + x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

Paso 6.2

Resta $h \cos (h x)$ de ambos lados de la ecuación.

$x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - h \cos (h x)$

Paso 6.3

Divide cada término en $x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - h \cos (h x)$ por $x \cos (h x)$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Divide cada término en $x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - h \cos (h x)$ por $x \cos (h x)$ .

$\frac{x h' \cos (h x)}{x \cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x h' \cos (h x)}{x \cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Paso 6.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{h' \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Paso 6.3.2.2

Cancela el factor común de $\cos (h x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{h' \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Paso 6.3.2.2.2

Divide $h'$ por $1$ .

$h' = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Paso 6.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.1.1

Separa las fracciones.

$h' = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x} \cdot \frac{1}{\cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Paso 6.3.3.1.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (h x)}$ a $\sec (h x)$ .

$h' = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Paso 6.3.3.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$h' = \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{1}{x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Paso 6.3.3.1.4

Combinar.

$h' = \frac{e^{x} \cdot 1}{2 x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Paso 6.3.3.1.5

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$h' = \frac{e^{x}}{2 x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Paso 6.3.3.1.6

Combina $\frac{e^{x}}{2 x}$ y $\sec (h x)$ .

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Paso 6.3.3.1.7

Separa las fracciones.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x} \cdot \frac{1}{\cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Paso 6.3.3.1.8

Convierte de $\frac{1}{\cos (h x)}$ a $\sec (h x)$ .

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Paso 6.3.3.1.9

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{1}{x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Paso 6.3.3.1.10

Combinar.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \cdot 1}{2 x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Paso 6.3.3.1.11

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x}}{2 x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Paso 6.3.3.1.12

Combina $\frac{e^{- x}}{2 x}$ y $\sec (h x)$ .

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Paso 6.3.3.1.13

Cancela el factor común de $\cos (h x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.1.13.1

Cancela el factor común.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Paso 6.3.3.1.13.2

Reescribe la expresión.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{- h}{x}$

Paso 6.3.3.1.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} - \frac{h}{x}$

Paso 7

Reemplaza $h'$ con $\frac{d h}{d x}$ .

$\frac{d h}{d x} = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} - \frac{h}{x}$