Cálculo Ejemplos

$f = 12 x + 4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (f) = \frac{d}{d x} (12 x + 4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}})$

Paso 2

La derivada de $f$ con respecto a $x$ es $f'$ .

$f'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $12 x + 4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Paso 3.2.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

Paso 3.2.3

Multiplica $12$ por $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $4 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 y e^{\frac{2 x}{7 y}}$ con respecto a $x$ es $4 y \frac{d}{d x} [e^{\frac{2 x}{7 y}}]$ .

$12 + 4 y \frac{d}{d x} [e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \frac{2 x}{7 y}$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{2 x}{7 y}$ .

$12 + 4 y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{7 y}])$

Paso 3.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$12 + 4 y (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{7 y}])$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{2 x}{7 y}$ .

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{7 y}])$

Paso 3.3.3

Como $\frac{2}{7 y}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x}{7 y}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{7 y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} (\frac{2}{7 y} \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} (\frac{2}{7 y} \cdot 1))$

Paso 3.3.5

Multiplica $\frac{2}{7 y}$ por $1$ .

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} \frac{2}{7 y})$

Paso 3.3.6

Combina $e^{\frac{2 x}{7 y}}$ y $\frac{2}{7 y}$ .

$12 + 4 y \frac{e^{\frac{2 x}{7 y}} \cdot 2}{7 y}$

Paso 3.3.7

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{\frac{2 x}{7 y}}$ .

$12 + 4 y \frac{2 \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$

Paso 3.3.8

Combina $4$ y $\frac{2 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$ .

$12 + y \frac{4 (2 e^{\frac{2 x}{7 y}})}{7 y}$

Paso 3.3.9

Multiplica $2$ por $4$ .

$12 + y \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$

Paso 3.3.10

Combina $y$ y $\frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$ .

$12 + \frac{y (8 e^{\frac{2 x}{7 y}})}{7 y}$

Paso 3.3.11

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.3.11.1

Cancela el factor común.

$12 + \frac{y (8 e^{\frac{2 x}{7 y}})}{7 y}$

Paso 3.3.11.2

Reescribe la expresión.

$12 + \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$f' = 12 + \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7}$

Paso 5

Reemplaza $f'$ con $\frac{d f}{d x}$ .

$\frac{d f}{d x} = 12 + \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7}$