Cálculo Ejemplos

$\frac{4 f^{2} P}{1 - f^{2}} = K$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d P} (\frac{4 f^{2} P}{1 - f^{2}}) = \frac{d}{d P} (K)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d}{d P} [\frac{4 f^{2} P}{1^{2} - f^{2}}]$

Paso 2.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = f$ .

$\frac{d}{d P} [\frac{4 f^{2} P}{(1 + f) (1 - f)}]$

Paso 2.2

Como $4$ es constante con respecto a $P$ , la derivada de $\frac{4 f^{2} P}{(1 + f) (1 - f)}$ con respecto a $P$ es $4 \frac{d}{d P} [\frac{f^{2} P}{(1 + f) (1 - f)}]$ .

$4 \frac{d}{d P} [\frac{f^{2} P}{(1 + f) (1 - f)}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d P} [\frac{f (P)}{g (P)}]$ es $\frac{g (P) \frac{d}{d P} [f (P)] - f (P) \frac{d}{d P} [g (P)]}{{g (P)}^{2}}$ donde $f (P) = f^{2} P$ y $g (P) = (1 + f) (1 - f)$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) \frac{d}{d P} [f^{2} P] - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d P} [f (P) g (P)]$ es $f (P) \frac{d}{d P} [g (P)] + g (P) \frac{d}{d P} [f (P)]$ donde $f (P) = f^{2}$ y $g (P) = P$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} \frac{d}{d P} [P] + P \frac{d}{d P} [f^{2}]) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d P} [P^{n}]$ es $n P^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} \cdot 1 + P \frac{d}{d P} [f^{2}]) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Paso 2.5.2

Multiplica $f^{2}$ por $1$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + P \frac{d}{d P} [f^{2}]) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d P} [f (g (P))]$ es $f' (g (P)) g' (P)$ donde $f (P) = P^{2}$ y $g (P) = f$ .

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Paso 2.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $f$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + P (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d P} [f])) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Paso 2.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + P (2 u \frac{d}{d P} [f])) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Paso 2.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $f$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + P (2 f \frac{d}{d P} [f])) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Paso 2.7

Mueve $2$ a la izquierda de $P$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 \cdot P f \frac{d}{d P} [f]) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Paso 2.8

Reescribe $\frac{d}{d P} [f]$ como $f'$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Paso 2.9

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d P} [f (P) g (P)]$ es $f (P) \frac{d}{d P} [g (P)] + g (P) \frac{d}{d P} [f (P)]$ donde $f (P) = 1 + f$ y $g (P) = 1 - f$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) \frac{d}{d P} [1 - f] + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Paso 2.10

Diferencia.

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Paso 2.10.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - f$ con respecto a $P$ es $\frac{d}{d P} [1] + \frac{d}{d P} [- f]$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (\frac{d}{d P} [1] + \frac{d}{d P} [- f]) + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Paso 2.10.2

Como $1$ es constante con respecto a $P$ , la derivada de $1$ con respecto a $P$ es $0$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (0 + \frac{d}{d P} [- f]) + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Paso 2.10.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d P} [- f]$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) \frac{d}{d P} [- f] + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Paso 2.10.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $P$ , la derivada de $- f$ con respecto a $P$ es $- \frac{d}{d P} [f]$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- \frac{d}{d P} [f]) + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Paso 2.11

Reescribe $\frac{d}{d P} [f]$ como $f'$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Paso 2.12

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + f$ con respecto a $P$ es $\frac{d}{d P} [1] + \frac{d}{d P} [f]$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) (\frac{d}{d P} [1] + \frac{d}{d P} [f]))}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Paso 2.13

Como $1$ es constante con respecto a $P$ , la derivada de $1$ con respecto a $P$ es $0$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) (0 + \frac{d}{d P} [f]))}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Paso 2.14

Suma $0$ y $\frac{d}{d P} [f]$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) \frac{d}{d P} [f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Paso 2.15

Reescribe $\frac{d}{d P} [f]$ como $f'$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) f')}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Paso 2.16

Combina $4$ y $\frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) f')}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$ .

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) f'))}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Paso 2.17

Simplifica.

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Paso 2.17.1

Aplica la regla del producto a $(1 + f) (1 - f)$ .

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P (1 (- f') + f (- f') + (1 - f) f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P (1 (- f') + f (- f') + 1 f' - f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P (1 (- f')) - f^{2} P (f (- f')) - f^{2} P (1 f') - f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.17.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.17.6.1.1

Expande $(1 + f) (1 - f)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.17.6.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 ((1 (1 - f) + f (1 - f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 ((1 \cdot 1 + 1 (- f) + f (1 - f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 ((1 \cdot 1 + 1 (- f) + f \cdot 1 + f (- f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.17.6.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.17.6.1.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{4 ((1 + 1 (- f) + f \cdot 1 + f (- f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.2.1.2

Multiplica $- f$ por $1$ .

$\frac{4 ((1 - f + f \cdot 1 + f (- f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.2.1.3

Multiplica $f$ por $1$ .

$\frac{4 ((1 - f + f + f (- f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{4 ((1 - f + f - f \cdot f) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.2.1.5

Multiplica $f$ por $f$ sumando los exponentes.

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Paso 2.17.6.1.2.1.5.1

Mueve $f$ .

$\frac{4 ((1 - f + f - (f \cdot f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.2.1.5.2

Multiplica $f$ por $f$ .

$\frac{4 ((1 - f + f - f^{2}) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.2.2

Suma $- f$ y $f$ .

$\frac{4 ((1 + 0 - f^{2}) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.2.3

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{4 ((1 - f^{2}) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.3

Expande $(1 - f^{2}) (f^{2} + 2 P f f')$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.17.6.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (1 (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (1 f^{2} + 1 (2 P f f') - f^{2} (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (1 f^{2} + 1 (2 P f f') - f^{2} f^{2} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.17.6.1.4.1

Multiplica $f^{2}$ por $1$ .

$\frac{4 (f^{2} + 1 (2 P f f') - f^{2} f^{2} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.4.2

Multiplica $2 P f f'$ por $1$ .

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{2} f^{2} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.4.3

Multiplica $f^{2}$ por $f^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.17.6.1.4.3.1

Mueve $f^{2}$ .

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - (f^{2} f^{2}) - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.4.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{2 + 2} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.4.3.3

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.4.4

Multiplica $f^{2}$ por $f$ sumando los exponentes.

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Paso 2.17.6.1.4.4.1

Mueve $f$ .

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - (f \cdot f^{2}) (2 P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.4.4.2

Multiplica $f$ por $f^{2}$ .

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Paso 2.17.6.1.4.4.2.1

Eleva $f$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - (f^{1} f^{2}) (2 P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.4.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - f^{1 + 2} (2 P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.4.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - f^{3} (2 P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.4.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - 2 f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 f^{2} + 4 (2 P f f') + 4 (- f^{4}) + 4 (- 2 f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.6

Simplifica.

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Paso 2.17.6.1.6.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 (P f f') + 4 (- f^{4}) + 4 (- 2 f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.6.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 (P f f') - 4 f^{4} + 4 (- 2 f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.6.3

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 (P f f') - 4 f^{4} - 8 (f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.7

Elimina los paréntesis.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.8

Multiplica $- f'$ por $1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 (- f^{2} P (- f')) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.9

Multiplica $- f^{2} P (- f')$ .

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Paso 2.17.6.1.9.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 (1 f^{2} P f') + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.9.2

Multiplica $f^{2}$ por $1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 (f^{2} P f') + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.10

Multiplica $f^{2}$ por $f$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.17.6.1.10.1

Mueve $f$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (- (f \cdot f^{2}) P (- f')) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.10.2

Multiplica $f$ por $f^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.17.6.1.10.2.1

Eleva $f$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (- (f^{1} f^{2}) P (- f')) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.10.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{1 + 2} P (- f')) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.10.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{3} P (- f')) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.11

Multiplica $- f^{3} P (- f')$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.17.6.1.11.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (1 f^{3} P f') + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.11.2

Multiplica $f^{3}$ por $1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (f^{3} P f') + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.12

Multiplica $f'$ por $1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' + 4 (- f^{2} P f') + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.13

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 (f^{2} P f') + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.14

Multiplica $f^{2}$ por $f$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.17.6.1.14.1

Mueve $f$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- (f \cdot f^{2}) P (- 1 f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.14.2

Multiplica $f$ por $f^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.17.6.1.14.2.1

Eleva $f$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- (f^{1} f^{2}) P (- 1 f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.14.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{1 + 2} P (- 1 f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.14.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{3} P (- 1 f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.15

Reescribe $- 1 f'$ como $- f'$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{3} P (- f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.16

Multiplica $- f^{3} P (- f')$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.17.6.1.16.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (1 f^{3} P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.1.16.2

Multiplica $f^{3}$ por $1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (f^{3} P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.2

Combina los términos opuestos en $4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f'$ .

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Paso 2.17.6.2.1

Resta $4 f^{2} P f'$ de $4 f^{2} P f'$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{3} P f' + 0 + 4 f^{3} P f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.2.2

Suma $4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{3} P f'$ y $0$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{3} P f' + 4 f^{3} P f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.3

Suma $- 8 f^{3} P f'$ y $4 f^{3} P f'$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 4 f^{3} P f' + 4 f^{3} P f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.4

Combina los términos opuestos en $4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 4 f^{3} P f' + 4 f^{3} P f'$ .

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Paso 2.17.6.4.1

Suma $- 4 f^{3} P f'$ y $4 f^{3} P f'$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} + 0}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.6.4.2

Suma $4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4}$ y $0$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4}}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.7

Reordena los términos.

$\frac{- 4 f^{4} + 4 f^{2} + 8 P f f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.8

Factoriza $4 f$ de $- 4 f^{4} + 4 f^{2} + 8 P f f'$ .

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Paso 2.17.8.1

Factoriza $4 f$ de $- 4 f^{4}$ .

$\frac{4 f (- f^{3}) + 4 f^{2} + 8 P f f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.8.2

Factoriza $4 f$ de $4 f^{2}$ .

$\frac{4 f (- f^{3}) + 4 f (f) + 8 P f f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.8.3

Factoriza $4 f$ de $8 P f f'$ .

$\frac{4 f (- f^{3}) + 4 f (f) + 4 f (2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.8.4

Factoriza $4 f$ de $4 f (- f^{3}) + 4 f (f)$ .

$\frac{4 f (- f^{3} + f) + 4 f (2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.8.5

Factoriza $4 f$ de $4 f (- f^{3} + f) + 4 f (2 P f')$ .

$\frac{4 f (- f^{3} + f + 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.9

Factoriza $- 1$ de $- f^{3}$ .

$\frac{4 f (- (f^{3}) + f + 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.10

Factoriza $- 1$ de $f$ .

$\frac{4 f (- (f^{3}) - 1 (- f) + 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.11

Factoriza $- 1$ de $- (f^{3}) - 1 (- f)$ .

$\frac{4 f (- (f^{3} - f) + 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.12

Factoriza $- 1$ de $2 P f'$ .

$\frac{4 f (- (f^{3} - f) - (- 2 P f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.13

Factoriza $- 1$ de $- (f^{3} - f) - (- 2 P f')$ .

$\frac{4 f (- (f^{3} - f - 2 P f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.14

Reescribe $- (f^{3} - f - 2 P f')$ como $- 1 (f^{3} - f - 2 P f')$ .

$\frac{4 f (- 1 (f^{3} - f - 2 P f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(4 f) (f^{3} - f - 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 2.17.16

Reordena los factores en $- \frac{(4 f) (f^{3} - f - 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$ .

$- \frac{4 f (f^{3} - f - 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Paso 3

Como $K$ es constante con respecto a $P$ , la derivada de $K$ con respecto a $P$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- \frac{4 f (f^{3} - f - 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}} = 0$

Paso 5

Resuelve $f'$

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Paso 5.1

Establece el numerador igual a cero.

$4 f (f^{3} - f - 2 P f') = 0$

Paso 5.2

Resuelve la ecuación en $f'$ .

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $4 f (f^{3} - f - 2 P f') = 0$ por $4 f$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Divide cada término en $4 f (f^{3} - f - 2 P f') = 0$ por $4 f$ .

$\frac{4 f (f^{3} - f - 2 P f')}{4 f} = \frac{0}{4 f}$

Paso 5.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 f (f^{3} - f - 2 P f')}{4 f} = \frac{0}{4 f}$

Paso 5.2.1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{f (f^{3} - f - 2 P f')}{f} = \frac{0}{4 f}$

Paso 5.2.1.2.2

Cancela el factor común de $f$ .

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Paso 5.2.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{f (f^{3} - f - 2 P f')}{f} = \frac{0}{4 f}$

Paso 5.2.1.2.2.2

Divide $f^{3} - f - 2 P f'$ por $1$ .

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{0}{4 f}$

Paso 5.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1.3.1

Cancela el factor común de $0$ y $4$ .

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Paso 5.2.1.3.1.1

Factoriza $4$ de $0$ .

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{4 (0)}{4 f}$

Paso 5.2.1.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.1.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $4 f$ .

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{4 (0)}{4 (f)}$

Paso 5.2.1.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{4 \cdot 0}{4 f}$

Paso 5.2.1.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{0}{f}$

Paso 5.2.1.3.2

Divide $0$ por $f$ .

$f^{3} - f - 2 P f' = 0$

Paso 5.2.2

Mueve todos los términos que no contengan $f'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.2.1

Resta $f^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$- f - 2 P f' = - f^{3}$

Paso 5.2.2.2

Suma $f$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 P f' = - f^{3} + f$

Paso 5.2.3

Divide cada término en $- 2 P f' = - f^{3} + f$ por $- 2 P$ y simplifica.

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Paso 5.2.3.1

Divide cada término en $- 2 P f' = - f^{3} + f$ por $- 2 P$ .

$\frac{- 2 P f'}{- 2 P} = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

Paso 5.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 P f'}{- 2 P} = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

Paso 5.2.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{P f'}{P} = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

Paso 5.2.3.2.2

Cancela el factor común de $P$ .

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Paso 5.2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{P f'}{P} = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

Paso 5.2.3.2.2.2

Divide $f'$ por $1$ .

$f' = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

Paso 5.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$f' = \frac{f^{3}}{2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

Paso 5.2.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' = \frac{f^{3}}{2 P} - \frac{f}{2 P}$

Paso 6

Reemplaza $f'$ con $\frac{d f}{d P}$ .

$\frac{d f}{d P} = \frac{f^{3}}{2 P} - \frac{f}{2 P}$