Cálculo Ejemplos

$x = \sqrt[3]{15000 - p^{3}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{15000 - p^{3}}$ como ${(15000 - p^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$x = {(15000 - p^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} ({(15000 - p^{3})}^{\frac{1}{3}})$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = 15000 - p^{3}$ .

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Paso 4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $15000 - p^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} {u_{1}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Paso 4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $15000 - p^{3}$ .

$\frac{1}{3} {(15000 - p^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Paso 4.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(15000 - p^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Paso 4.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(15000 - p^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} {(15000 - p^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Paso 4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} {(15000 - p^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Paso 4.5.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(15000 - p^{3})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Paso 4.6

Diferencia.

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Paso 4.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} {(15000 - p^{3})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Paso 4.6.2

Combina fracciones.

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Paso 4.6.2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(15000 - p^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(15000 - p^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Paso 4.6.2.2

Mueve ${(15000 - p^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Paso 4.6.3

Según la regla de la suma, la derivada de $15000 - p^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [15000] + \frac{d}{d x} [- p^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [15000] + \frac{d}{d x} [- p^{3}])$

Paso 4.6.4

Como $15000$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $15000$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- p^{3}])$

Paso 4.6.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- p^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- p^{3}]$

Paso 4.6.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- p^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [p^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{d}{d x} [p^{3}])$

Paso 4.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = p$ .

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Paso 4.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $p$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [p]))$

Paso 4.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [p]))$

Paso 4.7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $p$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- (3 p^{2} \frac{d}{d x} [p]))$

Paso 4.8

Simplifica los términos.

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Paso 4.8.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- 3 (p^{2} \frac{d}{d x} [p]))$

Paso 4.8.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 3}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (p^{2} \frac{d}{d x} [p])$

Paso 4.8.3

Combina $p^{2}$ y $\frac{- 3}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{p^{2} \cdot - 3}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [p]$

Paso 4.8.4

Mueve $- 3$ a la izquierda de $p^{2}$ .

$\frac{- 3 \cdot p^{2}}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [p]$

Paso 4.8.5

Factoriza $3$ de $- 3 p^{2}$ .

$\frac{3 (- p^{2})}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [p]$

Paso 4.9

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.9.1

Factoriza $3$ de $3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 (- p^{2})}{3 ({(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}})} \frac{d}{d x} [p]$

Paso 4.9.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- p^{2})}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [p]$

Paso 4.9.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- p^{2}}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [p]$

Paso 4.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{p^{2}}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [p]$

Paso 4.11

Reescribe $\frac{d}{d x} [p]$ como $p'$ .

$- \frac{p^{2}}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} p'$

Paso 4.12

Combina $p'$ y $\frac{p^{2}}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{p' p^{2}}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.13

Reordena los factores en $p' p^{2}$ .

$- \frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = - \frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 6

Resuelve $p'$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} = 1$ .

$- \frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} = 1$

Paso 6.2

Divide cada término en $- \frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} = 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.2.1

Divide cada término en $- \frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 6.2.2.2

Divide $\frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ por $1$ .

$\frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{- 1}$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$\frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} = - 1$

Paso 6.3

Multiplica ambos lados por ${(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}} = - {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 6.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.1

Cancela el factor común de ${(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 6.4.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}} = - {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 6.4.1.2

Reescribe la expresión.

$p^{2} p' = - {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 6.5

Divide cada término en $p^{2} p' = - {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$ por $p^{2}$ y simplifica.

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Paso 6.5.1

Divide cada término en $p^{2} p' = - {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$ por $p^{2}$ .

$\frac{p^{2} p'}{p^{2}} = \frac{- {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}{p^{2}}$

Paso 6.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.2.1

Cancela el factor común de $p^{2}$ .

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Paso 6.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{p^{2} p'}{p^{2}} = \frac{- {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}{p^{2}}$

Paso 6.5.2.1.2

Divide $p'$ por $1$ .

$p' = \frac{- {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}{p^{2}}$

Paso 6.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$p' = - \frac{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}{p^{2}}$

Paso 7

Reemplaza $p'$ con $\frac{d p}{d x}$ .

$\frac{d p}{d x} = - \frac{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}{p^{2}}$