Cálculo Ejemplos

$p = 4 q e^{q^{9}}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d q} (p) = \frac{d}{d q} (4 q e^{q^{9}})$

Paso 2

La derivada de $p$ con respecto a $q$ es $p'$ .

$p'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $4$ es constante con respecto a $q$ , la derivada de $4 q e^{q^{9}}$ con respecto a $q$ es $4 \frac{d}{d q} [q e^{q^{9}}]$ .

$4 \frac{d}{d q} [q e^{q^{9}}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d q} [f (q) g (q)]$ es $f (q) \frac{d}{d q} [g (q)] + g (q) \frac{d}{d q} [f (q)]$ donde $f (q) = q$ y $g (q) = e^{q^{9}}$ .

$4 (q \frac{d}{d q} [e^{q^{9}}] + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ es $f' (g (q)) g' (q)$ donde $f (q) = e^{q}$ y $g (q) = q^{9}$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $q^{9}$ .

$4 (q (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d q} [q^{9}]) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$4 (q (e^{u} \frac{d}{d q} [q^{9}]) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $q^{9}$ .

$4 (q (e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q^{9}]) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ es $n q^{n - 1}$ donde $n = 9$ .

$4 (q (e^{q^{9}} (9 q^{8})) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Paso 3.5

Eleva $q$ a la potencia de $1$ .

$4 (q^{8} q^{1} (e^{q^{9}} \cdot (9)) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Paso 3.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 (q^{8 + 1} (e^{q^{9}} \cdot (9)) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Paso 3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 3.7.1

Suma $8$ y $1$ .

$4 (q^{9} (e^{q^{9}} \cdot (9)) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Paso 3.7.2

Mueve $9$ a la izquierda de $e^{q^{9}}$ .

$4 (q^{9} (9 \cdot e^{q^{9}}) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ es $n q^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (q^{9} (9 e^{q^{9}}) + e^{q^{9}} \cdot 1)$

Paso 3.9

Multiplica $e^{q^{9}}$ por $1$ .

$4 (q^{9} (9 e^{q^{9}}) + e^{q^{9}})$

Paso 3.10

Simplifica.

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Paso 3.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (q^{9} (9 e^{q^{9}})) + 4 e^{q^{9}}$

Paso 3.10.2

Multiplica $9$ por $4$ .

$36 q^{9} e^{q^{9}} + 4 e^{q^{9}}$

Paso 3.10.3

Reordena los términos.

$36 e^{q^{9}} q^{9} + 4 e^{q^{9}}$

Paso 3.10.4

Reordena los factores en $36 e^{q^{9}} q^{9} + 4 e^{q^{9}}$ .

$36 q^{9} e^{q^{9}} + 4 e^{q^{9}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$p' = 36 q^{9} e^{q^{9}} + 4 e^{q^{9}}$

Paso 5

Reemplaza $p'$ con $\frac{d p}{d q}$ .

$\frac{d p}{d q} = 36 q^{9} e^{q^{9}} + 4 e^{q^{9}}$