Cálculo Ejemplos

$p = \frac{10000}{q^{2} + 25}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d q} (p) = \frac{d}{d q} (\frac{10000}{q^{2} + 25})$

Paso 2

La derivada de $p$ con respecto a $q$ es $p'$ .

$p'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 3.1.1

Como $10000$ es constante con respecto a $q$ , la derivada de $\frac{10000}{q^{2} + 25}$ con respecto a $q$ es $10000 \frac{d}{d q} [\frac{1}{q^{2} + 25}]$ .

$10000 \frac{d}{d q} [\frac{1}{q^{2} + 25}]$

Paso 3.1.2

Reescribe $\frac{1}{q^{2} + 25}$ como ${(q^{2} + 25)}^{- 1}$ .

$10000 \frac{d}{d q} [{(q^{2} + 25)}^{- 1}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ es $f' (g (q)) g' (q)$ donde $f (q) = q^{- 1}$ y $g (q) = q^{2} + 25$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $q^{2} + 25$ .

$10000 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d q} [q^{2} + 25])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$10000 (- u^{- 2} \frac{d}{d q} [q^{2} + 25])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $q^{2} + 25$ .

$10000 (- {(q^{2} + 25)}^{- 2} \frac{d}{d q} [q^{2} + 25])$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Multiplica $- 1$ por $10000$ .

$- 10000 ({(q^{2} + 25)}^{- 2} \frac{d}{d q} [q^{2} + 25])$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $q^{2} + 25$ con respecto a $q$ es $\frac{d}{d q} [q^{2}] + \frac{d}{d q} [25]$ .

$- 10000 {(q^{2} + 25)}^{- 2} (\frac{d}{d q} [q^{2}] + \frac{d}{d q} [25])$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ es $n q^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 10000 {(q^{2} + 25)}^{- 2} (2 q + \frac{d}{d q} [25])$

Paso 3.3.4

Como $25$ es constante con respecto a $q$ , la derivada de $25$ con respecto a $q$ es $0$ .

$- 10000 {(q^{2} + 25)}^{- 2} (2 q + 0)$

Paso 3.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.5.1

Suma $2 q$ y $0$ .

$- 10000 {(q^{2} + 25)}^{- 2} (2 q)$

Paso 3.3.5.2

Multiplica $2$ por $- 10000$ .

$- 20000 {(q^{2} + 25)}^{- 2} q$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 20000 \frac{1}{{(q^{2} + 25)}^{2}} q$

Paso 3.4.2

Combina los términos.

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Paso 3.4.2.1

Combina $- 20000$ y $\frac{1}{{(q^{2} + 25)}^{2}}$ .

$\frac{- 20000}{{(q^{2} + 25)}^{2}} q$

Paso 3.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{20000}{{(q^{2} + 25)}^{2}} q$

Paso 3.4.2.3

Combina $q$ y $\frac{20000}{{(q^{2} + 25)}^{2}}$ .

$- \frac{q \cdot 20000}{{(q^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 3.4.2.4

Mueve $20000$ a la izquierda de $q$ .

$- \frac{20000 q}{{(q^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$p' = - \frac{20000 q}{{(q^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $p'$ con $\frac{d p}{d q}$ .

$\frac{d p}{d q} = - \frac{20000 q}{{(q^{2} + 25)}^{2}}$