Cálculo Ejemplos

$b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{2} b^{2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}) = \frac{d}{d x} (a^{2} b^{2})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [b^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [b^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [b^{2} x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = b^{2}$ y $g (x) = x^{2}$ .

$b^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [b^{2}] + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$b^{2} (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [b^{2}] + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = b$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $b$ .

$b^{2} (2 x) + x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [b]) + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$b^{2} (2 x) + x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [b]) + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $b$ .

$b^{2} (2 x) + x^{2} (2 b \frac{d}{d x} [b]) + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Paso 2.2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [b]$ como $b'$ .

$b^{2} (2 x) + x^{2} (2 b b') + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Paso 2.2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $b^{2}$ .

$2 \cdot b^{2} x + x^{2} (2 b b') + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Paso 2.2.6

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b' + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $a^{2} y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $a^{2} y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b' + 0$

Paso 2.3.2

Suma $2 b^{2} x + 2 x^{2} b b'$ y $0$ .

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $a^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $a^{2} b^{2}$ con respecto a $x$ es $a^{2} \frac{d}{d x} [b^{2}]$ .

$a^{2} \frac{d}{d x} [b^{2}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = b$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $b$ .

$a^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [b])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$a^{2} (2 u \frac{d}{d x} [b])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $b$ .

$a^{2} (2 b \frac{d}{d x} [b])$

Paso 3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $a^{2}$ .

$2 \cdot a^{2} b \frac{d}{d x} [b]$

Paso 3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [b]$ como $b'$ .

$2 a^{2} b b'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b' = 2 a^{2} b b'$

Paso 5

Resuelve $b'$

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Paso 5.1

Resta $2 a^{2} b b'$ de ambos lados de la ecuación.

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b' - 2 a^{2} b b' = 0$

Paso 5.2

Resta $2 b^{2} x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} b b' - 2 a^{2} b b' = - 2 b^{2} x$

Paso 5.3

Factoriza $2 b b'$ de $2 x^{2} b b' - 2 a^{2} b b'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $2 b b'$ de $2 x^{2} b b'$ .

$2 b b' x^{2} - 2 a^{2} b b' = - 2 b^{2} x$

Paso 5.3.2

Factoriza $2 b b'$ de $- 2 a^{2} b b'$ .

$2 b b' x^{2} + 2 b b' (- a^{2}) = - 2 b^{2} x$

Paso 5.3.3

Factoriza $2 b b'$ de $2 b b' x^{2} + 2 b b' (- a^{2})$ .

$2 b b' (x^{2} - a^{2}) = - 2 b^{2} x$

Paso 5.4

Factoriza.

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Paso 5.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = a$ .

$2 b b' ((x + a) (x - a)) = - 2 b^{2} x$

Paso 5.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 b b' (x + a) (x - a) = - 2 b^{2} x$

Paso 5.5

Divide cada término en $2 b b' (x + a) (x - a) = - 2 b^{2} x$ por $2 b (x + a) (x - a)$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $2 b b' (x + a) (x - a) = - 2 b^{2} x$ por $2 b (x + a) (x - a)$ .

$\frac{2 b b' (x + a) (x - a)}{2 b (x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 b b' (x + a) (x - a)}{2 b (x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Paso 5.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{b b' (x + a) (x - a)}{(b (x + a)) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Paso 5.5.2.2

Cancela el factor común de $b$ .

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{b b' (x + a) (x - a)}{b (x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Paso 5.5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{b' (x + a) (x - a)}{(x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Paso 5.5.2.3

Cancela el factor común de $x + a$ .

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Paso 5.5.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{b' (x + a) (x - a)}{(x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Paso 5.5.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{b' (x - a)}{x - a} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Paso 5.5.2.4

Cancela el factor común de $x - a$ .

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Paso 5.5.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{b' (x - a)}{x - a} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Paso 5.5.2.4.2

Divide $b'$ por $1$ .

$b' = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 5.5.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 b^{2} x$ .

$b' = \frac{2 (- b^{2} x)}{2 b (x + a) (x - a)}$

Paso 5.5.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 b (x + a) (x - a)$ .

$b' = \frac{2 (- b^{2} x)}{2 ((b (x + a)) (x - a))}$

Paso 5.5.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$b' = \frac{2 (- b^{2} x)}{2 ((b (x + a)) (x - a))}$

Paso 5.5.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$b' = \frac{- b^{2} x}{(b (x + a)) (x - a)}$

Paso 5.5.3.2

Cancela el factor común de $b^{2}$ y $b$ .

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Paso 5.5.3.2.1

Factoriza $b$ de $- b^{2} x$ .

$b' = \frac{b (- b x)}{(b (x + a)) (x - a)}$

Paso 5.5.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.3.2.2.1

Factoriza $b$ de $(b (x + a)) (x - a)$ .

$b' = \frac{b (- b x)}{b ((x + a) (x - a))}$

Paso 5.5.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$b' = \frac{b (- b x)}{b ((x + a) (x - a))}$

Paso 5.5.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$b' = \frac{- b x}{(x + a) (x - a)}$

Paso 5.5.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$b' = - \frac{b x}{(x + a) (x - a)}$

Paso 6

Reemplaza $b'$ con $\frac{d b}{d x}$ .

$\frac{d b}{d x} = - \frac{b x}{(x + a) (x - a)}$