Cálculo Ejemplos

$(x^{3}) {(x - 7)}^{4}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = {(x - 7)}^{4}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 7)}^{4}] + {(x - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = x - 7$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 7$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x - 7]) + {(x - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$x^{3} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x - 7]) + {(x - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 7$ .

$x^{3} (4 {(x - 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 7]) + {(x - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$x^{3} (4 {(x - 7)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{3} (4 {(x - 7)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.3

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{3} (4 {(x - 7)}^{3} (1 + 0)) + {(x - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$x^{3} (4 {(x - 7)}^{3} \cdot 1) + {(x - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.4.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$x^{3} (4 {(x - 7)}^{3}) + {(x - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x^{3} (4 {(x - 7)}^{3}) + {(x - 7)}^{4} (3 x^{2})$

Paso 3.6

Mueve $3$ a la izquierda de ${(x - 7)}^{4}$ .

$x^{3} (4 {(x - 7)}^{3}) + 3 \cdot {(x - 7)}^{4} x^{2}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Factoriza $x^{2} {(x - 7)}^{3}$ de $x^{3} (4 {(x - 7)}^{3}) + 3 {(x - 7)}^{4} x^{2}$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $x^{2} {(x - 7)}^{3}$ de $x^{3} (4 {(x - 7)}^{3})$ .

$x^{2} {(x - 7)}^{3} (x \cdot (4)) + 3 {(x - 7)}^{4} x^{2}$

Paso 4.1.2

Factoriza $x^{2} {(x - 7)}^{3}$ de $3 {(x - 7)}^{4} x^{2}$ .

$x^{2} {(x - 7)}^{3} (x \cdot (4)) + x^{2} {(x - 7)}^{3} (3 (x - 7))$

Paso 4.1.3

Factoriza $x^{2} {(x - 7)}^{3}$ de $x^{2} {(x - 7)}^{3} (x \cdot (4)) + x^{2} {(x - 7)}^{3} (3 (x - 7))$ .

$x^{2} {(x - 7)}^{3} (x \cdot (4) + 3 (x - 7))$

Paso 4.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} {(x - 7)}^{3} (4 x + 3 (x - 7))$