Cálculo Ejemplos

$p (t) = 20 - \frac{7}{t + 2}$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $20 - \frac{7}{t + 2}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [20] + \frac{d}{d t} [- \frac{7}{t + 2}]$ .

$\frac{d}{d t} [20] + \frac{d}{d t} [- \frac{7}{t + 2}]$

Paso 1.2

Como $20$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $20$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{7}{t + 2}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d t} [- \frac{7}{t + 2}]$ .

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Paso 2.1

Como $- 7$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- \frac{7}{t + 2}$ con respecto a $t$ es $- 7 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 2}]$ .

$0 - 7 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 2}]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{1}{t + 2}$ como ${(t + 2)}^{- 1}$ .

$0 - 7 \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{- 1}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{- 1}$ y $g (t) = t + 2$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t + 2$ .

$0 - 7 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t + 2])$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$0 - 7 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 2])$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t + 2$ .

$0 - 7 (- {(t + 2)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 2])$

Paso 2.4

Según la regla de la suma, la derivada de $t + 2$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$0 - 7 (- {(t + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]))$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 7 (- {(t + 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d t} [2]))$

Paso 2.6

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 - 7 (- {(t + 2)}^{- 2} (1 + 0))$

Paso 2.7

Suma $1$ y $0$ .

$0 - 7 (- {(t + 2)}^{- 2} \cdot 1)$

Paso 2.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - 7 (- {(t + 2)}^{- 2})$

Paso 2.9

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$0 + 7 {(t + 2)}^{- 2}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 7 \frac{1}{{(t + 2)}^{2}}$

Paso 3.2

Combina los términos.

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Paso 3.2.1

Combina $7$ y $\frac{1}{{(t + 2)}^{2}}$ .

$0 + \frac{7}{{(t + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Suma $0$ y $\frac{7}{{(t + 2)}^{2}}$ .

$\frac{7}{{(t + 2)}^{2}}$