Cálculo Ejemplos

$y = \frac{t^{2} + 3}{{(5 t - 2)}^{9}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t^{2} + 3$ y $g (t) = {(5 t - 2)}^{9}$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{9} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3] - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{({(5 t - 2)}^{9})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Multiplica los exponentes en ${({(5 t - 2)}^{9})}^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{9} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3] - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{(5 t - 2)}^{9 \cdot 2}}$

Paso 2.1.2

Multiplica $9$ por $2$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{9} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3] - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} + 3$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{9} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{9} (2 t + \frac{d}{d t} [3]) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Paso 2.4

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{9} (2 t + 0) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Paso 2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.1

Suma $2 t$ y $0$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{9} (2 t) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Paso 2.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de ${(5 t - 2)}^{9}$ .

$\frac{2 \cdot {(5 t - 2)}^{9} t - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{9}$ y $g (t) = 5 t - 2$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 t - 2$ .

$\frac{2 {(5 t - 2)}^{9} t - (t^{2} + 3) (\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d t} [5 t - 2])}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 9$ .

$\frac{2 {(5 t - 2)}^{9} t - (t^{2} + 3) (9 u^{8} \frac{d}{d t} [5 t - 2])}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 t - 2$ .

$\frac{2 {(5 t - 2)}^{9} t - (t^{2} + 3) (9 {(5 t - 2)}^{8} \frac{d}{d t} [5 t - 2])}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Paso 4

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 4.1

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\frac{2 {(5 t - 2)}^{9} t - 9 (t^{2} + 3) ({(5 t - 2)}^{8} \frac{d}{d t} [5 t - 2])}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Paso 4.2

Factoriza ${(5 t - 2)}^{8}$ de $2 {(5 t - 2)}^{9} t - 9 (t^{2} + 3) ({(5 t - 2)}^{8} \frac{d}{d t} [5 t - 2])$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza ${(5 t - 2)}^{8}$ de $2 {(5 t - 2)}^{9} t$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{8} (2 (5 t - 2) t) - 9 (t^{2} + 3) ({(5 t - 2)}^{8} \frac{d}{d t} [5 t - 2])}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Paso 4.2.2

Factoriza ${(5 t - 2)}^{8}$ de $- 9 (t^{2} + 3) ({(5 t - 2)}^{8} \frac{d}{d t} [5 t - 2])$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{8} (2 (5 t - 2) t) + {(5 t - 2)}^{8} (- 9 (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [5 t - 2]))}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Paso 4.2.3

Factoriza ${(5 t - 2)}^{8}$ de ${(5 t - 2)}^{8} (2 (5 t - 2) t) + {(5 t - 2)}^{8} (- 9 (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [5 t - 2]))$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{8} (2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [5 t - 2]))}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Paso 5

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1

Factoriza ${(5 t - 2)}^{8}$ de ${(5 t - 2)}^{18}$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{8} (2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [5 t - 2]))}{{(5 t - 2)}^{8} {(5 t - 2)}^{10}}$

Paso 5.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(5 t - 2)}^{8} (2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [5 t - 2]))}{{(5 t - 2)}^{8} {(5 t - 2)}^{10}}$

Paso 5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [5 t - 2])}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Paso 6

Según la regla de la suma, la derivada de $5 t - 2$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$\frac{2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Paso 7

Como $5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $5 t$ con respecto a $t$ es $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Paso 9

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (5 + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Paso 10

Como $- 2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (5 + 0)}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Paso 11

Simplifica la expresión.

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Paso 11.1

Suma $5$ y $0$ .

$\frac{2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) \cdot 5}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Paso 11.2

Multiplica $5$ por $- 9$ .

$\frac{2 (5 t - 2) t - 45 (t^{2} + 3)}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 (5 t) + 2 \cdot - 2) t - 45 (t^{2} + 3)}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Paso 12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (5 t) t + 2 \cdot - 2 t - 45 (t^{2} + 3)}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Paso 12.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (5 t) t + 2 \cdot - 2 t - 45 t^{2} - 45 \cdot 3}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Paso 12.4

Simplifica el numerador.

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Paso 12.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.4.1.1

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 12.4.1.1.1

Mueve $t$ .

$\frac{2 (5 (t \cdot t)) + 2 \cdot - 2 t - 45 t^{2} - 45 \cdot 3}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Paso 12.4.1.1.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{2 (5 t^{2}) + 2 \cdot - 2 t - 45 t^{2} - 45 \cdot 3}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Paso 12.4.1.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{10 t^{2} + 2 \cdot - 2 t - 45 t^{2} - 45 \cdot 3}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Paso 12.4.1.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{10 t^{2} - 4 t - 45 t^{2} - 45 \cdot 3}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Paso 12.4.1.4

Multiplica $- 45$ por $3$ .

$\frac{10 t^{2} - 4 t - 45 t^{2} - 135}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Paso 12.4.2

Resta $45 t^{2}$ de $10 t^{2}$ .

$\frac{- 35 t^{2} - 4 t - 135}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Paso 12.5

Factoriza $- 1$ de $- 35 t^{2}$ .

$\frac{- (35 t^{2}) - 4 t - 135}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Paso 12.6

Factoriza $- 1$ de $- 4 t$ .

$\frac{- (35 t^{2}) - (4 t) - 135}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Paso 12.7

Factoriza $- 1$ de $- (35 t^{2}) - (4 t)$ .

$\frac{- (35 t^{2} + 4 t) - 135}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Paso 12.8

Reescribe $- 135$ como $- 1 (135)$ .

$\frac{- (35 t^{2} + 4 t) - 1 (135)}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Paso 12.9

Factoriza $- 1$ de $- (35 t^{2} + 4 t) - 1 (135)$ .

$\frac{- (35 t^{2} + 4 t + 135)}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Paso 12.10

Reescribe $- (35 t^{2} + 4 t + 135)$ como $- 1 (35 t^{2} + 4 t + 135)$ .

$\frac{- 1 (35 t^{2} + 4 t + 135)}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Paso 12.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{35 t^{2} + 4 t + 135}{{(5 t - 2)}^{10}}$