Cálculo Ejemplos

$\sqrt{\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}}$ como ${(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d s} [{(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ es $f' (g (s)) g' (s)$ donde $f (s) = s^{\frac{1}{2}}$ y $g (s) = \frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

Paso 7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

Paso 8

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d s} [\frac{f (s)}{g (s)}]$ es $\frac{g (s) \frac{d}{d s} [f (s)] - f (s) \frac{d}{d s} [g (s)]}{{g (s)}^{2}}$ donde $f (s) = s^{2} + 1$ y $g (s) = s^{2} + 4$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(s^{2} + 4) \frac{d}{d s} [s^{2} + 1] - (s^{2} + 1) \frac{d}{d s} [s^{2} + 4]}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 9

Diferencia.

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Paso 9.1

Según la regla de la suma, la derivada de $s^{2} + 1$ con respecto a $s$ es $\frac{d}{d s} [s^{2}] + \frac{d}{d s} [1]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(s^{2} + 4) (\frac{d}{d s} [s^{2}] + \frac{d}{d s} [1]) - (s^{2} + 1) \frac{d}{d s} [s^{2} + 4]}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 9.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ es $n s^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(s^{2} + 4) (2 s + \frac{d}{d s} [1]) - (s^{2} + 1) \frac{d}{d s} [s^{2} + 4]}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 9.3

Como $1$ es constante con respecto a $s$ , la derivada de $1$ con respecto a $s$ es $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(s^{2} + 4) (2 s + 0) - (s^{2} + 1) \frac{d}{d s} [s^{2} + 4]}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 9.4

Simplifica la expresión.

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Paso 9.4.1

Suma $2 s$ y $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(s^{2} + 4) (2 s) - (s^{2} + 1) \frac{d}{d s} [s^{2} + 4]}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 9.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $s^{2} + 4$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot (s^{2} + 4) s - (s^{2} + 1) \frac{d}{d s} [s^{2} + 4]}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 9.5

Según la regla de la suma, la derivada de $s^{2} + 4$ con respecto a $s$ es $\frac{d}{d s} [s^{2}] + \frac{d}{d s} [4]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (s^{2} + 4) s - (s^{2} + 1) (\frac{d}{d s} [s^{2}] + \frac{d}{d s} [4])}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 9.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ es $n s^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (s^{2} + 4) s - (s^{2} + 1) (2 s + \frac{d}{d s} [4])}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 9.7

Como $4$ es constante con respecto a $s$ , la derivada de $4$ con respecto a $s$ es $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (s^{2} + 4) s - (s^{2} + 1) (2 s + 0)}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 9.8

Combina fracciones.

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Paso 9.8.1

Suma $2 s$ y $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (s^{2} + 4) s - (s^{2} + 1) (2 s)}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 9.8.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (s^{2} + 4) s - 2 (s^{2} + 1) s}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 9.8.3

Multiplica $\frac{2 (s^{2} + 4) s - 2 (s^{2} + 1) s}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 (s^{2} + 4) s - 2 (s^{2} + 1) s}{{(s^{2} + 4)}^{2} \cdot 2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 9.8.4

Mueve $2$ a la izquierda de ${(s^{2} + 4)}^{2}$ .

$\frac{2 (s^{2} + 4) s - 2 (s^{2} + 1) s}{2 \cdot {(s^{2} + 4)}^{2}} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$\frac{2 (s^{2} + 4) s - 2 (s^{2} + 1) s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} {(\frac{s^{2} + 4}{s^{2} + 1})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 10.2

Aplica la regla del producto a $\frac{s^{2} + 4}{s^{2} + 1}$ .

$\frac{2 (s^{2} + 4) s - 2 (s^{2} + 1) s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 s^{2} + 2 \cdot 4) s - 2 (s^{2} + 1) s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 s^{2} s + 2 \cdot 4 s - 2 (s^{2} + 1) s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 s^{2} s + 2 \cdot 4 s + (- 2 s^{2} - 2 \cdot 1) s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 s^{2} s + 2 \cdot 4 s - 2 s^{2} s - 2 \cdot 1 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.7

Combina los términos.

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Paso 10.7.1

Eleva $s$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (s^{1} s^{2}) + 2 \cdot 4 s - 2 s^{2} s - 2 \cdot 1 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 s^{1 + 2} + 2 \cdot 4 s - 2 s^{2} s - 2 \cdot 1 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.7.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 s^{3} + 2 \cdot 4 s - 2 s^{2} s - 2 \cdot 1 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.7.4

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{2 s^{3} + 8 s - 2 s^{2} s - 2 \cdot 1 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.7.5

Eleva $s$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 s^{3} + 8 s - 2 (s^{1} s^{2}) - 2 \cdot 1 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.7.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 s^{3} + 8 s - 2 s^{1 + 2} - 2 \cdot 1 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.7.7

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 s^{3} + 8 s - 2 s^{3} - 2 \cdot 1 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.7.8

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{2 s^{3} + 8 s - 2 s^{3} - 2 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.7.9

Resta $2 s^{3}$ de $2 s^{3}$ .

$\frac{8 s + 0 - 2 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.7.10

Suma $8 s$ y $0$ .

$\frac{8 s - 2 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.7.11

Resta $2 s$ de $8 s$ .

$\frac{6 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.7.12

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 10.7.12.1

Factoriza $2$ de $6 s$ .

$\frac{2 (3 s)}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.7.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.7.12.2.1

Factoriza $2$ de $2 {(s^{2} + 4)}^{2}$ .

$\frac{2 (3 s)}{2 ({(s^{2} + 4)}^{2})} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.7.12.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 s)}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.7.12.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.7.13

Multiplica $\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$ por $\frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 s {(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 4)}^{2} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.7.14

Mueve ${(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{2} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(s^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 10.7.15

Multiplica ${(s^{2} + 4)}^{2}$ por ${(s^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.7.15.1

Mueve ${(s^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} {(s^{2} + 4)}^{2} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.7.15.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2} + 2} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.7.15.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.7.15.4

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.7.15.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.7.15.6

Simplifica el numerador.

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Paso 10.7.15.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.7.15.6.2

Suma $- 1$ y $4$ .

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$