Cálculo Ejemplos

$s (t) = 2 \sqrt{t + 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{t + 1}$ como ${(t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ y $g (t) = t + 1$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t + 1$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t + 1])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t + 1$ .

$2 (\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$2 (\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 (\frac{1}{2} {(t + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{{(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Paso 7.3

Mueve ${(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Paso 7.4

Combina $\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $2$ .

$\frac{2}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 1]$

Paso 7.5

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 1]$

Paso 7.6

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 1]$

Paso 8

Según la regla de la suma, la derivada de $t + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d t} [1])$

Paso 10

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

Paso 11

Simplifica la expresión.

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Paso 11.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Paso 11.2

Multiplica $\frac{1}{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$