Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(14 x - x^{2})}^{3}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 14 x - x^{2}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $14 x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [14 x - x^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [14 x - x^{2}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $14 x - x^{2}$ .

$3 {(14 x - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [14 x - x^{2}]$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $14 x - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$3 {(14 x - x^{2})}^{2} (\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [14 x]$ .

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Paso 3.1

Como $14$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $14 x$ con respecto a $x$ es $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(14 x - x^{2})}^{2} (14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 {(14 x - x^{2})}^{2} (14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 3.3

Multiplica $14$ por $1$ .

$3 {(14 x - x^{2})}^{2} (14 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 {(14 x - x^{2})}^{2} (14 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 {(14 x - x^{2})}^{2} (14 - (2 x))$

Paso 4.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$3 {(14 x - x^{2})}^{2} (14 - 2 x)$

Paso 5

Reordena los términos.

$3 {(14 x - x^{2})}^{2} (- 2 x + 14)$