Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{6}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ es $f' (g (v)) g' (v)$ donde $f (v) = v^{6}$ y $g (v) = \frac{v}{v^{3} + 1}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{v}{v^{3} + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d v} [\frac{v}{v^{3} + 1}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d v} [\frac{v}{v^{3} + 1}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{v}{v^{3} + 1}$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{d}{d v} [\frac{v}{v^{3} + 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d v} [\frac{f (v)}{g (v)}]$ es $\frac{g (v) \frac{d}{d v} [f (v)] - f (v) \frac{d}{d v} [g (v)]}{{g (v)}^{2}}$ donde $f (v) = v$ y $g (v) = v^{3} + 1$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{(v^{3} + 1) \frac{d}{d v} [v] - v \frac{d}{d v} [v^{3} + 1]}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{(v^{3} + 1) \cdot 1 - v \frac{d}{d v} [v^{3} + 1]}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica $v^{3} + 1$ por $1$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v \frac{d}{d v} [v^{3} + 1]}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $v^{3} + 1$ con respecto a $v$ es $\frac{d}{d v} [v^{3}] + \frac{d}{d v} [1]$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (\frac{d}{d v} [v^{3}] + \frac{d}{d v} [1])}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [1])}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.5

Como $1$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $1$ con respecto a $v$ es $0$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (3 v^{2} + 0)}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Suma $3 v^{2}$ y $0$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (3 v^{2})}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.6.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 v \cdot v^{2}}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 4

Multiplica $v$ por $v^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $v^{2}$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 (v^{2} v)}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 4.2

Multiplica $v^{2}$ por $v$ .

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Paso 4.2.1

Eleva $v$ a la potencia de $1$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 (v^{2} v^{1})}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 v^{2 + 1}}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 4.3

Suma $2$ y $1$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 v^{3}}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 5

Resta $3 v^{3}$ de $v^{3}$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la regla del producto a $\frac{v}{v^{3} + 1}$ .

$6 \frac{v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}} \frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2

Combina los términos.

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Paso 6.2.1

Combina $6$ y $\frac{v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}}$ .

$\frac{6 v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}} \cdot \frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Multiplica $\frac{6 v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}}$ por $\frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{6 v^{5} (- 2 v^{3} + 1)}{{(v^{3} + 1)}^{5} {(v^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.3

Multiplica ${(v^{3} + 1)}^{5}$ por ${(v^{3} + 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{6 v^{5} (- 2 v^{3} + 1)}{{(v^{3} + 1)}^{5 + 2}}$

Paso 6.2.3.2

Suma $5$ y $2$ .

$\frac{6 v^{5} (- 2 v^{3} + 1)}{{(v^{3} + 1)}^{7}}$