Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 4 x + 3$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x + 3$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 + 0)$

Paso 4.2

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \cdot 4$

Paso 5

Combina los términos.

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Paso 5.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \cdot 4$

Paso 5.2

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \cdot 4$

Paso 5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \cdot 4$

Paso 5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \cdot 4$

Paso 5.4.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \cdot 4$

Paso 5.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 4$

Paso 5.6

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 4$

Paso 5.7

Combina $\frac{{(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $4$ .

$\frac{{(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 4}{2}$

Paso 5.8

Mueve $4$ a la izquierda de ${(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \cdot {(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 5.9

Mueve ${(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.10

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.11

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.11.1

Factoriza $2$ de $2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 5.11.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.11.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$