Cálculo Ejemplos

$\sqrt{\sin (x + 1)}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\sin (x + 1)}$ como ${\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = \sin (x + 1)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sin (x + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sin (x + 1)$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {\sin (x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {\sin (x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${\sin (x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\sin (x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

Paso 7.3

Mueve ${\sin (x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

Paso 8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x + 1$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 8.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 8.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 1$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\cos (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 9

Diferencia.

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Paso 9.1

Combina $\cos (x + 1)$ y $\frac{1}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\cos (x + 1)}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 9.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\cos (x + 1)}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 9.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\cos (x + 1)}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 9.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\cos (x + 1)}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

Paso 9.5

Simplifica la expresión.

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Paso 9.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\cos (x + 1)}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Paso 9.5.2

Multiplica $\frac{\cos (x + 1)}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{\cos (x + 1)}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Separa las fracciones.

$\frac{\cos (x + 1)}{2} \cdot \frac{1}{{\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.2

Convierte de $\frac{1}{{\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ a ${\csc (x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\cos (x + 1)}{2} {\csc (x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 10.3

Combina $\frac{\cos (x + 1)}{2}$ y ${\csc (x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\cos (x + 1) {\csc (x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 10.4

Reordena los factores en $\frac{\cos (x + 1) {\csc (x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{{\csc (x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cos (x + 1)}{2}$