Cálculo Ejemplos

$5 x^{2} {(6 x + 8)}^{4}$

Paso 1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2} {(6 x + 8)}^{4}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2} {(6 x + 8)}^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} {(6 x + 8)}^{4}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = {(6 x + 8)}^{4}$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x + 8)}^{4}] + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = 6 x + 8$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 x + 8$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [6 x + 8]) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$5 (x^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [6 x + 8]) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x + 8$ .

$5 (x^{2} (4 {(6 x + 8)}^{3} \frac{d}{d x} [6 x + 8]) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$5 (x^{2} (4 {(6 x + 8)}^{3} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [8])) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{2} (4 {(6 x + 8)}^{3} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 (x^{2} (4 {(6 x + 8)}^{3} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.4

Multiplica $6$ por $1$ .

$5 (x^{2} (4 {(6 x + 8)}^{3} (6 + \frac{d}{d x} [8])) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.5

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 (x^{2} (4 {(6 x + 8)}^{3} (6 + 0)) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.6

Simplifica la expresión.

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Paso 4.6.1

Suma $6$ y $0$ .

$5 (x^{2} (4 {(6 x + 8)}^{3} \cdot 6) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.6.2

Multiplica $6$ por $4$ .

$5 (x^{2} (24 {(6 x + 8)}^{3}) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 (x^{2} (24 {(6 x + 8)}^{3}) + {(6 x + 8)}^{4} (2 x))$

Paso 4.8

Mueve $2$ a la izquierda de ${(6 x + 8)}^{4}$ .

$5 (x^{2} (24 {(6 x + 8)}^{3}) + 2 \cdot {(6 x + 8)}^{4} x)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (x^{2} (24 {(6 x + 8)}^{3})) + 5 (2 {(6 x + 8)}^{4} x)$

Paso 5.2

Multiplica $24$ por $5$ .

$120 (x^{2} ({(6 x + 8)}^{3})) + 5 (2 {(6 x + 8)}^{4} x)$

Paso 5.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$120 x^{2} {(6 x + 8)}^{3} + 10 ({(6 x + 8)}^{4} x)$

Paso 5.4

Factoriza $10 x {(6 x + 8)}^{3}$ de $120 x^{2} {(6 x + 8)}^{3} + 10 {(6 x + 8)}^{4} x$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $10 x {(6 x + 8)}^{3}$ de $120 x^{2} {(6 x + 8)}^{3}$ .

$10 x {(6 x + 8)}^{3} (12 x) + 10 {(6 x + 8)}^{4} x$

Paso 5.4.2

Factoriza $10 x {(6 x + 8)}^{3}$ de $10 {(6 x + 8)}^{4} x$ .

$10 x {(6 x + 8)}^{3} (12 x) + 10 x {(6 x + 8)}^{3} (6 x + 8)$

Paso 5.4.3

Factoriza $10 x {(6 x + 8)}^{3}$ de $10 x {(6 x + 8)}^{3} (12 x) + 10 x {(6 x + 8)}^{3} (6 x + 8)$ .

$10 x {(6 x + 8)}^{3} (12 x + 6 x + 8)$

Paso 5.5

Suma $12 x$ y $6 x$ .

$10 x {(6 x + 8)}^{3} (18 x + 8)$