Cálculo Ejemplos

$y = \cos^{2} (2 π t + 3)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = \cos (2 π t + 3)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\cos (2 π t + 3)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cos (2 π t + 3)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\cos (2 π t + 3)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\cos (2 π t + 3)$ .

$2 \cos (2 π t + 3) \frac{d}{d t} [\cos (2 π t + 3)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \cos (t)$ y $g (t) = 2 π t + 3$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 π t + 3$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [2 π t + 3])$

Paso 2.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [2 π t + 3])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 π t + 3$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (2 π t + 3) \frac{d}{d t} [2 π t + 3])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 π t + 3$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [2 π t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (2 π t + 3) (\frac{d}{d t} [2 π t] + \frac{d}{d t} [3]))$

Paso 3.2

Como $2 π$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 π t$ con respecto a $t$ es $2 π \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (2 π t + 3) (2 π \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]))$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (2 π t + 3) (2 π \cdot 1 + \frac{d}{d t} [3]))$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (2 π t + 3) (2 π + \frac{d}{d t} [3]))$

Paso 3.5

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3$ con respecto a $t$ es $0$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (2 π t + 3) (2 π + 0))$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Suma $2 π$ y $0$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (2 π t + 3) (2 π))$

Paso 3.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- 2 \sin (2 π t + 3) π)$

Paso 3.6.3

Reordena los factores de $- 2 \sin (2 π t + 3) π$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- 2 π \sin (2 π t + 3))$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$- 4 \cos (2 π t + 3) π \sin (2 π t + 3)$

Paso 4.2

Reordena los factores de $- 4 \cos (2 π t + 3) π \sin (2 π t + 3)$ .

$- 4 π \cos (2 π t + 3) \sin (2 π t + 3)$