Cálculo Ejemplos

$\frac{3 z^{2} + 12 z - 9}{z^{4}}$

Paso 1

Mueve $z^{4}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (3 z^{2} + 12 z - 9) {(z^{4})}^{- 1} d z$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${(z^{4})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 z^{2} + 12 z - 9) z^{4 \cdot - 1} d z$

Paso 2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\int (3 z^{2} + 12 z - 9) z^{- 4} d z$

Paso 3

Expande $(3 z^{2} + 12 z - 9) z^{- 4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (3 z^{2} + 12 z) z^{- 4} - 9 z^{- 4} d z$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 3 z^{2} z^{- 4} + 12 z \cdot z^{- 4} - 9 z^{- 4} d z$

Paso 3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 3 z^{2 - 4} + 12 z \cdot z^{- 4} - 9 z^{- 4} d z$

Paso 3.4

Resta $4$ de $2$ .

$\int 3 z^{- 2} + 12 z \cdot z^{- 4} - 9 z^{- 4} d z$

Paso 3.5

Eleva $z$ a la potencia de $1$ .

$\int 3 z^{- 2} + 12 (z^{1} z^{- 4}) - 9 z^{- 4} d z$

Paso 3.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 3 z^{- 2} + 12 z^{1 - 4} - 9 z^{- 4} d z$

Paso 3.7

Resta $4$ de $1$ .

$\int 3 z^{- 2} + 12 z^{- 3} - 9 z^{- 4} d z$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 3 z^{- 2} d z + \int 12 z^{- 3} d z + \int - 9 z^{- 4} d z$

Paso 5

Dado que $3$ es constante con respecto a $z$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int z^{- 2} d z + \int 12 z^{- 3} d z + \int - 9 z^{- 4} d z$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $z^{- 2}$ con respecto a $z$ es $- z^{- 1}$ .

$3 (- z^{- 1} + C) + \int 12 z^{- 3} d z + \int - 9 z^{- 4} d z$

Paso 7

Dado que $12$ es constante con respecto a $z$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 \int z^{- 3} d z + \int - 9 z^{- 4} d z$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $z^{- 3}$ con respecto a $z$ es $- \frac{1}{2} z^{- 2}$ .

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2} z^{- 2} + C) + \int - 9 z^{- 4} d z$

Paso 9

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Combina $z^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{z^{- 2}}{2} + C) + \int - 9 z^{- 4} d z$

Paso 9.2

Mueve $z^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2 z^{2}} + C) + \int - 9 z^{- 4} d z$

Paso 10

Dado que $- 9$ es constante con respecto a $z$ , mueve $- 9$ fuera de la integral.

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2 z^{2}} + C) - 9 \int z^{- 4} d z$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $z^{- 4}$ con respecto a $z$ es $- \frac{1}{3} z^{- 3}$ .

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2 z^{2}} + C) - 9 (- \frac{1}{3} z^{- 3} + C)$

Paso 12

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.1

Combina $z^{- 3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2 z^{2}} + C) - 9 (- \frac{z^{- 3}}{3} + C)$

Paso 12.1.2

Mueve $z^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2 z^{2}} + C) - 9 (- \frac{1}{3 z^{3}} + C)$

Paso 12.2

Simplifica.

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} - 9 (- \frac{1}{3 z^{3}}) + C$

Paso 12.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 9$ .

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + 9 \frac{1}{3 z^{3}} + C$

Paso 12.3.2

Combina $9$ y $\frac{1}{3 z^{3}}$ .

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + \frac{9}{3 z^{3}} + C$

Paso 12.3.3

Cancela el factor común de $9$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.3.3.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + \frac{3 \cdot 3}{3 z^{3}} + C$

Paso 12.3.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.3.3.2.1

Factoriza $3$ de $3 z^{3}$ .

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + \frac{3 \cdot 3}{3 (z^{3})} + C$

Paso 12.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + \frac{3 \cdot 3}{3 z^{3}} + C$

Paso 12.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + \frac{3}{z^{3}} + C$