Cálculo Ejemplos

$\frac{2 x^{4} - 3 x^{2} + 2}{x^{2} - 6 x + 8}$

Paso 1

Divide $2 x^{4} - 3 x^{2} + 2$ por $x^{2} - 6 x + 8$ .

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Paso 1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

Paso 1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

Paso 1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

Paso 1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{4} - 12 x^{3} + 16 x^{2}$ .

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

Paso 1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

Paso 1.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

Paso 1.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $12 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

$2 x^{2}$

$12 x$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

Paso 1.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$2 x^{2}$

$12 x$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

Paso 1.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $12 x^{3} - 72 x^{2} + 96 x$ .

$2 x^{2}$

$12 x$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

Paso 1.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$2 x^{2}$

$12 x$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

Paso 1.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$2 x^{2}$

$12 x$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

$2$

Paso 1.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $53 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

$2 x^{2}$

$12 x$

$53$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

$2$

Paso 1.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$2 x^{2}$

$12 x$

$53$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

$2$

$53 x^{2}$

$318 x$

$424$

Paso 1.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $53 x^{2} - 318 x + 424$ .

$2 x^{2}$

$12 x$

$53$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

$2$

$53 x^{2}$

$318 x$

$424$

Paso 1.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$2 x^{2}$

$12 x$

$53$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

$2$

$53 x^{2}$

$318 x$

$424$

$222 x$

$422$

Paso 1.16

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int 2 x^{2} + 12 x + 53 + \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 x^{2} d x + \int 12 x d x + \int 53 d x + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int x^{2} d x + \int 12 x d x + \int 53 d x + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 12 x d x + \int 53 d x + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Paso 5

Dado que $12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 12 \int x d x + \int 53 d x + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 12 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 53 d x + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Paso 7

Aplica la regla de la constante.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 12 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 53 x + C + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 53 x + C + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Paso 9

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 9.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 9.1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 9.1.1.1

Factoriza $2$ de $222 x - 422$ .

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Paso 9.1.1.1.1

Factoriza $2$ de $222 x$ .

$\frac{2 (111 x) - 422}{x^{2} - 6 x + 8}$

Paso 9.1.1.1.2

Factoriza $2$ de $- 422$ .

$\frac{2 (111 x) + 2 (- 211)}{x^{2} - 6 x + 8}$

Paso 9.1.1.1.3

Factoriza $2$ de $2 (111 x) + 2 (- 211)$ .

$\frac{2 (111 x - 211)}{x^{2} - 6 x + 8}$

Paso 9.1.1.2

Factoriza $x^{2} - 6 x + 8$ con el método AC.

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Paso 9.1.1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $8$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 4, - 2$

Paso 9.1.1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{2 (111 x - 211)}{(x - 4) (x - 2)}$

Paso 9.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 4}$

Paso 9.1.3

$\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x - 2}$

Paso 9.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x - 4) (x - 2)$ .

$\frac{2 (111 x - 211) (x - 4) (x - 2)}{(x - 4) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 9.1.5

Cancela el factor común de $x - 4$ .

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Paso 9.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (111 x - 211) (x - 4) (x - 2)}{(x - 4) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 9.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (111 x - 211) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 9.1.6

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 9.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (111 x - 211) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 9.1.6.2

Divide $2 (111 x - 211)$ por $1$ .

$2 (111 x - 211) = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 9.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (111 x) + 2 \cdot - 211 = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 9.1.8

Multiplica.

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Paso 9.1.8.1

Multiplica $111$ por $2$ .

$222 x + 2 \cdot - 211 = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 9.1.8.2

Multiplica $2$ por $- 211$ .

$222 x - 422 = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 9.1.9

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.9.1

Cancela el factor común de $x - 4$ .

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Paso 9.1.9.1.1

Cancela el factor común.

$222 x - 422 = \frac{A (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 9.1.9.1.2

Divide $(A) (x - 2)$ por $1$ .

$222 x - 422 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 9.1.9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$222 x - 422 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 9.1.9.3

Mueve $- 2$ a la izquierda de $A$ .

$222 x - 422 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 9.1.9.4

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 9.1.9.4.1

Cancela el factor común.

$222 x - 422 = A x - 2 A + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 9.1.9.4.2

Divide $(B) (x - 4)$ por $1$ .

$222 x - 422 = A x - 2 A + (B) (x - 4)$

Paso 9.1.9.5

Aplica la propiedad distributiva.

$222 x - 422 = A x - 2 A + B x + B \cdot - 4$

Paso 9.1.9.6

Mueve $- 4$ a la izquierda de $B$ .

$222 x - 422 = A x - 2 A + B x - 4 B$

Paso 9.1.10

Mueve $- 2 A$ .

$222 x - 422 = A x + B x - 2 A - 4 B$

Paso 9.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 9.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$222 = A + B$

Paso 9.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 422 = - 2 A - 4 B$

Paso 9.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$222 = A + B$

$- 422 = - 2 A - 4 B$

$222 = A + B$

$- 422 = - 2 A - 4 B$

Paso 9.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 9.3.1

Resuelve $A$ en $222 = A + B$ .

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Paso 9.3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 222$ .

$A + B = 222$

$- 422 = - 2 A - 4 B$

Paso 9.3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 222 - B$

$- 422 = - 2 A - 4 B$

$A = 222 - B$

$- 422 = - 2 A - 4 B$

Paso 9.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $222 - B$ en cada ecuación.

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Paso 9.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $- 422 = - 2 A - 4 B$ por $222 - B$ .

$- 422 = - 2 (222 - B) - 4 B$

$A = 222 - B$

Paso 9.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.2.2.1

Simplifica $- 2 (222 - B) - 4 B$ .

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Paso 9.3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 422 = - 2 \cdot 222 - 2 (- B) - 4 B$

$A = 222 - B$

Paso 9.3.2.2.1.1.2

Multiplica $- 2$ por $222$ .

$- 422 = - 444 - 2 (- B) - 4 B$

$A = 222 - B$

Paso 9.3.2.2.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$- 422 = - 444 + 2 B - 4 B$

$A = 222 - B$

$- 422 = - 444 + 2 B - 4 B$

$A = 222 - B$

Paso 9.3.2.2.1.2

Resta $4 B$ de $2 B$ .

$- 422 = - 444 - 2 B$

$A = 222 - B$

$- 422 = - 444 - 2 B$

$A = 222 - B$

$- 422 = - 444 - 2 B$

$A = 222 - B$

$- 422 = - 444 - 2 B$

$A = 222 - B$

Paso 9.3.3

Resuelve $B$ en $- 422 = - 444 - 2 B$ .

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Paso 9.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 444 - 2 B = - 422$ .

$- 444 - 2 B = - 422$

$A = 222 - B$

Paso 9.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.3.3.2.1

Suma $444$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 B = - 422 + 444$

$A = 222 - B$

Paso 9.3.3.2.2

Suma $- 422$ y $444$ .

$- 2 B = 22$

$A = 222 - B$

$- 2 B = 22$

$A = 222 - B$

Paso 9.3.3.3

Divide cada término en $- 2 B = 22$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 9.3.3.3.1

Divide cada término en $- 2 B = 22$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{22}{- 2}$

$A = 222 - B$

Paso 9.3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 9.3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{22}{- 2}$

$A = 222 - B$

Paso 9.3.3.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{22}{- 2}$

$A = 222 - B$

$B = \frac{22}{- 2}$

$A = 222 - B$

$B = \frac{22}{- 2}$

$A = 222 - B$

Paso 9.3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.3.3.3.1

Divide $22$ por $- 2$ .

$B = - 11$

$A = 222 - B$

$B = - 11$

$A = 222 - B$

$B = - 11$

$A = 222 - B$

$B = - 11$

$A = 222 - B$

Paso 9.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $- 11$ en cada ecuación.

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Paso 9.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = 222 - B$ por $- 11$ .

$A = 222 - (- 11)$

$B = - 11$

Paso 9.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.4.2.1

Simplifica $222 - (- 11)$ .

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Paso 9.3.4.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 11$ .

$A = 222 + 11$

$B = - 11$

Paso 9.3.4.2.1.2

Suma $222$ y $11$ .

$A = 233$

$B = - 11$

$A = 233$

$B = - 11$

$A = 233$

$B = - 11$

$A = 233$

$B = - 11$

Paso 9.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = 233, B = - 11$

Paso 9.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x - 2}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{233}{x - 4} + \frac{- 11}{x - 2}$

Paso 9.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + \int \frac{233}{x - 4} - \frac{11}{x - 2} d x$

Paso 10

Divide la única integral en varias integrales.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + \int \frac{233}{x - 4} d x + \int - \frac{11}{x - 2} d x$

Paso 11

Dado que $233$ es constante con respecto a $x$ , mueve $233$ fuera de la integral.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 \int \frac{1}{x - 4} d x + \int - \frac{11}{x - 2} d x$

Paso 12

Sea $u_{1} = x - 4$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 12.1

Deja $u_{1} = x - 4$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 12.1.1

Diferencia $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Paso 12.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 12.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 12.1.4

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 12.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 12.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{11}{x - 2} d x$

Paso 13

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{11}{x - 2} d x$

Paso 14

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{11}{x - 2} d x$

Paso 15

Dado que $11$ es constante con respecto a $x$ , mueve $11$ fuera de la integral.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) - (11 \int \frac{1}{x - 2} d x)$

Paso 16

Multiplica $11$ por $- 1$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) - 11 \int \frac{1}{x - 2} d x$

Paso 17

Sea $u_{2} = x - 2$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 17.1

Deja $u_{2} = x - 2$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 17.1.1

Diferencia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Paso 17.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 17.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 17.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 17.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 17.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) - 11 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 18

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) - 11 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 19

Simplifica.

$\frac{2 x^{3}}{3} + 6 x^{2} + 53 x + 233 \ln (| u_{1} |) - 11 \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 20

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 20.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - 4$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} + 6 x^{2} + 53 x + 233 \ln (| x - 4 |) - 11 \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 20.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x - 2$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} + 6 x^{2} + 53 x + 233 \ln (| x - 4 |) - 11 \ln (| x - 2 |) + C$

Paso 21

Reordena los términos.

$\frac{2}{3} x^{3} + 6 x^{2} + 53 x + 233 \ln (| x - 4 |) - 11 \ln (| x - 2 |) + C$