Cálculo Ejemplos

$\frac{2 v^{2} + 6 v + 5}{(v + 2) {(v + 1)}^{2}}$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{v + 2}$

Paso 1.1.2

$\frac{A}{v + 2} + \frac{B}{{(v + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3

$\frac{A}{v + 2} + \frac{B}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{C}{v + 1}$

Paso 1.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(v + 2) {(v + 1)}^{2}$ .

$\frac{(2 v^{2} + 6 v + 5) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{(v + 2) {(v + 1)}^{2}} = \frac{(A) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de $v + 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

Paso 1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(2 v^{2} + 6 v + 5) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} = \frac{(A) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Paso 1.1.6

Cancela el factor común de ${(v + 1)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 v^{2} + 6 v + 5) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} = \frac{(A) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Paso 1.1.6.2

Divide $2 v^{2} + 6 v + 5$ por $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = \frac{(A) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Paso 1.1.7

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.7.1

Cancela el factor común de $v + 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = \frac{A (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Paso 1.1.7.1.2

Divide $(A) {(v + 1)}^{2}$ por $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = (A) {(v + 1)}^{2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Paso 1.1.7.2

Reescribe ${(v + 1)}^{2}$ como $(v + 1) (v + 1)$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A ((v + 1) (v + 1)) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Paso 1.1.7.3

Expande $(v + 1) (v + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.7.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v (v + 1) + 1 (v + 1)) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Paso 1.1.7.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v \cdot v + v \cdot 1 + 1 (v + 1)) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Paso 1.1.7.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v \cdot v + v \cdot 1 + 1 v + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Paso 1.1.7.4

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.7.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.7.4.1.1

Multiplica $v$ por $v$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v^{2} + v \cdot 1 + 1 v + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Paso 1.1.7.4.1.2

Multiplica $v$ por $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v^{2} + v + 1 v + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Paso 1.1.7.4.1.3

Multiplica $v$ por $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v^{2} + v + v + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Paso 1.1.7.4.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v^{2} + v + v + 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Paso 1.1.7.4.2

Suma $v$ y $v$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v^{2} + 2 v + 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Paso 1.1.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + A (2 v) + A \cdot 1 + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Paso 1.1.7.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.7.6.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A \cdot 1 + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Paso 1.1.7.6.2

Multiplica $A$ por $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Paso 1.1.7.7

Cancela el factor común de ${(v + 1)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.7.7.1

Cancela el factor común.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Paso 1.1.7.7.2

Divide $(B) (v + 2)$ por $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + (B) (v + 2) + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Paso 1.1.7.8

Aplica la propiedad distributiva.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + B \cdot 2 + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Paso 1.1.7.9

Mueve $2$ a la izquierda de $B$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 \cdot B + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Paso 1.1.7.10

Cancela el factor común de ${(v + 1)}^{2}$ y $v + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.7.10.1

Factoriza $v + 1$ de $(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + \frac{(v + 1) ((C) (v + 2) (v + 1))}{v + 1}$

Paso 1.1.7.10.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.7.10.2.1

Multiplica por $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + \frac{(v + 1) ((C) (v + 2) (v + 1))}{(v + 1) \cdot 1}$

Paso 1.1.7.10.2.2

Cancela el factor común.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + \frac{(v + 1) ((C) (v + 2) (v + 1))}{(v + 1) \cdot 1}$

Paso 1.1.7.10.2.3

Reescribe la expresión.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + \frac{(C) (v + 2) (v + 1)}{1}$

Paso 1.1.7.10.2.4

Divide $(C) (v + 2) (v + 1)$ por $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + (C) (v + 2) (v + 1)$

Paso 1.1.7.11

Aplica la propiedad distributiva.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + (C v + C \cdot 2) (v + 1)$

Paso 1.1.7.12

Mueve $2$ a la izquierda de $C$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + (C v + 2 \cdot C) (v + 1)$

Paso 1.1.7.13

Expande $(C v + 2 C) (v + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.7.13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v (v + 1) + 2 C (v + 1)$

Paso 1.1.7.13.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v \cdot v + C v \cdot 1 + 2 C (v + 1)$

Paso 1.1.7.13.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v \cdot v + C v \cdot 1 + 2 C v + 2 C \cdot 1$

Paso 1.1.7.14

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.7.14.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.7.14.1.1

Multiplica $v$ por $v$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.7.14.1.1.1

Mueve $v$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C (v \cdot v) + C v \cdot 1 + 2 C v + 2 C \cdot 1$

Paso 1.1.7.14.1.1.2

Multiplica $v$ por $v$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v^{2} + C v \cdot 1 + 2 C v + 2 C \cdot 1$

Paso 1.1.7.14.1.2

Multiplica $C$ por $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v^{2} + C v + 2 C v + 2 C \cdot 1$

Paso 1.1.7.14.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v^{2} + C v + 2 C v + 2 C$

Paso 1.1.7.14.2

Suma $C v$ y $2 C v$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v^{2} + 3 C v + 2 C$

Paso 1.1.8

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.8.1

Mueve $A$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 v A + A + B v + 2 B + C v^{2} + 3 C v + 2 C$

Paso 1.1.8.2

Reordena $B$ y $v$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 v A + A + B v + 2 B + C v^{2} + 3 C v + 2 C$

Paso 1.1.8.3

Mueve $2 B$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 v A + A + B v + C v^{2} + 3 C v + 2 B + 2 C$

Paso 1.1.8.4

Mueve $A$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 v A + B v + C v^{2} + 3 C v + A + 2 B + 2 C$

Paso 1.1.8.5

Mueve $B v$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 v A + C v^{2} + B v + 3 C v + A + 2 B + 2 C$

Paso 1.1.8.6

Mueve $2 v A$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + C v^{2} + 2 v A + B v + 3 C v + A + 2 B + 2 C$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $v^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$2 = A + C$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $v$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$6 = 2 A + B + 3 C$

Paso 1.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $v$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$5 = A + 2 B + 2 C$

Paso 1.2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$2 = A + C$

$6 = 2 A + B + 3 C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

$2 = A + C$

$6 = 2 A + B + 3 C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Resuelve $A$ en $2 = A + C$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + C = 2$ .

$A + C = 2$

$6 = 2 A + B + 3 C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

Paso 1.3.1.2

Resta $C$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 2 - C$

$6 = 2 A + B + 3 C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

$A = 2 - C$

$6 = 2 A + B + 3 C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $2 - C$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $6 = 2 A + B + 3 C$ por $2 - C$ .

$6 = 2 (2 - C) + B + 3 C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.2.1

Simplifica $2 (2 - C) + B + 3 C$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 = 2 \cdot 2 + 2 (- C) + B + 3 C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

Paso 1.3.2.2.1.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$6 = 4 + 2 (- C) + B + 3 C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

Paso 1.3.2.2.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$6 = 4 - 2 C + B + 3 C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

$6 = 4 - 2 C + B + 3 C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

Paso 1.3.2.2.1.2

Suma $- 2 C$ y $3 C$ .

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $A$ en $5 = A + 2 B + 2 C$ por $2 - C$ .

$5 = (2 - C) + 2 B + 2 C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

Paso 1.3.2.4

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.4.1

Suma $- C$ y $2 C$ .

$5 = 2 + 2 B + C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

$5 = 2 + 2 B + C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

$5 = 2 + 2 B + C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

Paso 1.3.3

Reordena $2$ y $- C$ .

$A = - C + 2$

$5 = 2 + 2 B + C$

$6 = 4 + B + C$

Paso 1.3.4

Resuelve $C$ en $5 = 2 + 2 B + C$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.1

Reescribe la ecuación como $2 + 2 B + C = 5$ .

$2 + 2 B + C = 5$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

Paso 1.3.4.2

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$2 B + C = 5 - 2$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

Paso 1.3.4.2.2

Resta $2 B$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 5 - 2 - 2 B$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

Paso 1.3.4.2.3

Resta $2$ de $5$ .

$C = 3 - 2 B$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

$C = 3 - 2 B$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

$C = 3 - 2 B$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

Paso 1.3.5

Reemplaza todos los casos de $C$ por $3 - 2 B$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.1

Reemplaza todos los casos de $C$ en $A = - C + 2$ por $3 - 2 B$ .

$A = - (3 - 2 B) + 2$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

Paso 1.3.5.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.2.1

Simplifica $- (3 - 2 B) + 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.2.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$A = - 1 \cdot 3 - (- 2 B) + 2$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

Paso 1.3.5.2.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$A = - 3 - (- 2 B) + 2$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

Paso 1.3.5.2.1.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$A = - 3 + 2 B + 2$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

$A = - 3 + 2 B + 2$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

Paso 1.3.5.2.1.2

Suma $- 3$ y $2$ .

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

Paso 1.3.5.3

Reemplaza todos los casos de $C$ en $6 = 4 + B + C$ por $3 - 2 B$ .

$6 = 4 + B + 3 - 2 B$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Paso 1.3.5.4

Simplifica $6 = 4 + B + 3 - 2 B$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.4.1.1

Elimina los paréntesis.

$6 = 4 + B + 3 - 2 B$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + 3 - 2 B$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Paso 1.3.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.4.2.1

Simplifica $4 + B + 3 - 2 B$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.4.2.1.1

Suma $4$ y $3$ .

$6 = B + 7 - 2 B$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Paso 1.3.5.4.2.1.2

Resta $2 B$ de $B$ .

$6 = - B + 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = - B + 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = - B + 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = - B + 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = - B + 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Paso 1.3.6

Resuelve $B$ en $6 = - B + 7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.6.1

Reescribe la ecuación como $- B + 7 = 6$ .

$- B + 7 = 6$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Paso 1.3.6.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.6.2.1

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$- B = 6 - 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Paso 1.3.6.2.2

Resta $7$ de $6$ .

$- B = - 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$- B = - 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Paso 1.3.6.3

Divide cada término en $- B = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.6.3.1

Divide cada término en $- B = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Paso 1.3.6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.6.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Paso 1.3.6.3.2.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$B = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Paso 1.3.6.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.6.3.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$B = 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$B = 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$B = 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$B = 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Paso 1.3.7

Reemplaza todos los casos de $B$ por $1$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.7.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = 2 B - 1$ por $1$ .

$A = 2 (1) - 1$

$B = 1$

$C = 3 - 2 B$

Paso 1.3.7.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.7.2.1

Simplifica $2 (1) - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.7.2.1.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$A = 2 - 1$

$B = 1$

$C = 3 - 2 B$

Paso 1.3.7.2.1.2

Resta $1$ de $2$ .

$A = 1$

$B = 1$

$C = 3 - 2 B$

$A = 1$

$B = 1$

$C = 3 - 2 B$

$A = 1$

$B = 1$

$C = 3 - 2 B$

Paso 1.3.7.3

Reemplaza todos los casos de $B$ en $C = 3 - 2 B$ por $1$ .

$C = 3 - 2 \cdot 1$

$A = 1$

$B = 1$

Paso 1.3.7.4

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.7.4.1

Simplifica $3 - 2 \cdot 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.7.4.1.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$C = 3 - 2$

$A = 1$

$B = 1$

Paso 1.3.7.4.1.2

Resta $2$ de $3$ .

$C = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$C = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$C = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$C = 1$

$A = 1$

$B = 1$

Paso 1.3.8

Enumera todas las soluciones.

$C = 1, A = 1, B = 1$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{v + 2} + \frac{B}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{C}{v + 1}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{1}{v + 2} + \frac{1}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{1}{v + 1}$

Paso 1.5

Elimina el cero de la expresión.

$\int \frac{1}{v + 2} + \frac{1}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{1}{v + 1} d v$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{v + 2} d v + \int \frac{1}{{(v + 1)}^{2}} d v + \int \frac{1}{v + 1} d v$

Paso 3

Sea $u_{1} = v + 2$ . Entonces $d u_{1} = d v$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Deja $u_{1} = v + 2$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d v}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Diferencia $v + 2$ .

$\frac{d}{d v} [v + 2]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $v + 2$ con respecto a $v$ es $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [2]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [2]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [2]$

Paso 3.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $2$ con respecto a $v$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 3.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{{(v + 1)}^{2}} d v + \int \frac{1}{v + 1} d v$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + \int \frac{1}{{(v + 1)}^{2}} d v + \int \frac{1}{v + 1} d v$

Paso 5

Sea $u_{2} = v + 1$ . Entonces $d u_{2} = d v$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Deja $u_{2} = v + 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Diferencia $v + 1$ .

$\frac{d}{d v} [v + 1]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $v + 1$ con respecto a $v$ es $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [1]$

Paso 5.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $1$ con respecto a $v$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{v + 1} d v$

Paso 6

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Mueve ${u_{2}}^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2} + \int \frac{1}{v + 1} d v$

Paso 6.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2} + \int \frac{1}{v + 1} d v$

Paso 6.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2} + \int \frac{1}{v + 1} d v$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{- 2}$ con respecto a $u_{2}$ es $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C - {u_{2}}^{- 1} + C + \int \frac{1}{v + 1} d v$

Paso 8

Sea $u_{3} = v + 1$ . Entonces $d u_{3} = d v$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Deja $u_{3} = v + 1$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d v}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.1

Diferencia $v + 1$ .

$\frac{d}{d v} [v + 1]$

Paso 8.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $v + 1$ con respecto a $v$ es $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [1]$

Paso 8.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $1$ con respecto a $v$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 8.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ y $d u_{3}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C - {u_{2}}^{- 1} + C + \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

Paso 9

La integral de $\frac{1}{u_{3}}$ con respecto a $u_{3}$ es $\ln (| u_{3} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C - {u_{2}}^{- 1} + C + \ln (| u_{3} |) + C$

Paso 10

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Simplifica.

$\ln (| u_{1} |) - \frac{1}{u_{2}} + \ln (| u_{3} |) + C$

Paso 10.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$- \frac{1}{u_{2}} + \ln (| u_{1} | | u_{3} |) + C$

Paso 10.2.2

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$- \frac{1}{u_{2}} + \ln (| u_{1} \cdot u_{3} |) + C$

Paso 11

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $v + 1$ .

$- \frac{1}{v + 1} + \ln (| u_{1} \cdot u_{3} |) + C$

Paso 11.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $v + 2$ .

$- \frac{1}{v + 1} + \ln (| (v + 2) u_{3} |) + C$

Paso 11.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $v + 1$ .

$- \frac{1}{v + 1} + \ln (| (v + 2) (v + 1) |) + C$