Cálculo Ejemplos

$\frac{100}{{(t + 2)}^{2}}$

Paso 1

Dado que $100$ es constante con respecto a $t$ , mueve $100$ fuera de la integral.

$100 \int \frac{1}{{(t + 2)}^{2}} d t$

Paso 2

Sea $u = t + 2$ . Entonces $d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = t + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $t + 2$ .

$\frac{d}{d t} [t + 2]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t + 2$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [2]$

Paso 2.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2$ con respecto a $t$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$100 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$100 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Paso 3.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$100 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Paso 3.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$100 \int u^{- 2} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$100 (- u^{- 1} + C)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe $100 (- u^{- 1} + C)$ como $100 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$100 (- \frac{1}{u}) + C$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Multiplica $- 1$ por $100$ .

$- 100 \frac{1}{u} + C$

Paso 5.2.2

Combina $- 100$ y $\frac{1}{u}$ .

$\frac{- 100}{u} + C$

Paso 5.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{100}{u} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t + 2$ .

$- \frac{100}{t + 2} + C$