Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (d x)$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Combina $d$ y $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\int \frac{d}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot x d x$

Paso 1.2

Combina $\frac{d}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ y $x$ .

$\int \frac{d x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Paso 2

Dado que $d$ es constante con respecto a $x$ , mueve $d$ fuera de la integral.

$d \int \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Paso 3

Sea $u = x^{2} + 2$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = x^{2} + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 3.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 3.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$d \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$d \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}} \cdot 2} d u$

Paso 4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u^{\frac{3}{2}}$ .

$d \int \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$d (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u)$

Paso 6

Combina fracciones.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $d$ .

$\frac{d}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Paso 6.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.2.1

Mueve $u^{\frac{3}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{d}{2} \int {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 6.2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 6.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{2} \int u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 6.2.2.2.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{d}{2} \int u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Paso 6.2.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{d}{2} \int u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Paso 6.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d}{2} \int u^{- \frac{3}{2}} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{3}{2}}$ con respecto a $u$ es $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{2} (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Reescribe $\frac{d}{2} (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$ como $\frac{d}{2} (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$ .

$\frac{d}{2} (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{2} \cdot \frac{- 2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 8.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d}{2} (- \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

Paso 8.2.3

Multiplica $\frac{d}{2}$ por $\frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{d \cdot 2}{2 u^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 8.2.4

Mueve $2$ a la izquierda de $d$ .

$- \frac{2 \cdot d}{2 u^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 8.2.5

Cancela el factor común.

$- \frac{2 d}{2 u^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 8.2.6

Reescribe la expresión.

$- \frac{d}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 2$ .

$- \frac{d}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + C$