Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{1 + \cos (2 x)}$

Paso 1

Sea $u_{1} = 2 x$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1}{1 + \cos (u_{1})}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{(1 + \cos (u_{1})) \cdot 2} d u_{1}$

Paso 2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $1 + \cos (u_{1})$ .

$\int \frac{1}{2 (1 + \cos (u_{1}))} d u_{1}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

Paso 4

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (x)$ a $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Paso 5

Usa la identidad pitagórica para transformar $1$ en $\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Resta ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ de ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

Paso 6.2

Suma ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ y ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

Paso 6.3

Suma $2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ y $0$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Paso 7

Multiplica el argumento por $\frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})}$

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Paso 8

Combinar.

$\frac{1}{2} \int \frac{1 \sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Paso 9

Multiplica ${\sec (\frac{u}{2})}^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Paso 10

Reescribe $\sec (\frac{u}{2})$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2}} d u_{1}$

Paso 11

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Paso 12

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Paso 13

Multiplica $2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ .

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Paso 13.1

Combina $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ y $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Paso 13.2

Combina $\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ y $\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Paso 14

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{u}{2}) \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Paso 15

Reescribe $\sec (\frac{u}{2})$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{2} \int {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2} \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Paso 16

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cdot \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Paso 17

Combinar.

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

Paso 18

Cancela el factor común de $\cos^{2} (\frac{u}{2})$ .

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Paso 18.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

Paso 18.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2}}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Paso 19

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Paso 20

Multiplica por $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 (\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \cdot 1)} d u_{1}$

Paso 21

Separa las fracciones.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Paso 22

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}$ a $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

Paso 23

Combina fracciones.

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Paso 23.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

Paso 23.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{2} d u_{1}$

Paso 24

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1})$

Paso 25

Sea $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Entonces $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , de modo que $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 25.1

Deja $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 25.1.1

Diferencia $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

Paso 25.1.2

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $\frac{u_{1}}{2}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 25.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 25.1.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 25.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2})$

Paso 26

Simplifica.

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Paso 26.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) (1 \cdot 2) d u_{2})$

Paso 26.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \cdot 2 d u_{2})$

Paso 26.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 2 \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Paso 27

Dado que $2$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} (2 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}))$

Paso 28

Simplifica.

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Paso 28.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Paso 28.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 28.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Paso 28.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (1 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Paso 28.3

Multiplica $\int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Paso 29

Como la derivada de $\tan (u_{2})$ es $\sec^{2} (u_{2})$ , la integral de $\sec^{2} (u_{2})$ es $\tan (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (\tan (u_{2}) + C)$

Paso 30

Simplifica.

$\frac{1}{2} \tan (u_{2}) + C$

Paso 31

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 31.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \tan (\frac{u_{1}}{2}) + C$

Paso 31.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} \tan (\frac{2 x}{2}) + C$

Paso 32

Simplifica.

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Paso 32.1

Reduce la expresión $\frac{2 x}{2}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 32.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \tan (\frac{2 x}{2}) + C$

Paso 32.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \tan (\frac{x}{1}) + C$

Paso 32.2

Divide $x$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \tan (x) + C$