Cálculo Ejemplos

$\sec^{3} (2 x)$

Paso 1

Factoriza $\sec (2 x)$ de $\sec^{3} (2 x)$ .

$\int \sec (2 x) \sec^{2} (2 x) d x$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \sec (2 x)$ y $d v = \sec^{2} (2 x)$ .

$\sec (2 x) (\frac{1}{2} \tan (2 x)) - \int \frac{1}{2} \tan (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2} \cdot 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2} \cdot 2$ fuera de la integral.

$\sec (2 x) (\frac{1}{2} \tan (2 x)) - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)$

Paso 4

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\tan (2 x)$ .

$\sec (2 x) \frac{\tan (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)$

Paso 4.2

Combina $\sec (2 x)$ y $\frac{\tan (2 x)}{2}$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)$

Paso 4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)$

Paso 5

Eleva $\tan (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \tan^{1} (2 x) \tan (2 x) \sec (2 x) d x)$

Paso 6

Eleva $\tan (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x) \sec (2 x) d x)$

Paso 7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int {\tan (2 x)}^{1 + 1} \sec (2 x) d x)$

Paso 8

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) d x)$

Paso 8.2

Reordena $\tan^{2} (2 x)$ y $\sec (2 x)$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \sec (2 x) \tan^{2} (2 x) d x)$

Paso 9

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \sec (2 x)$ y $d v = \tan^{2} (2 x)$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{1}{2} \tan (2 x)) - \int (- x + \frac{1}{2} \tan (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) d x))$

Paso 10

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{1}{2} \tan (2 x)) - (2 \int (- x + \frac{1}{2} \tan (2 x)) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)))$

Paso 11

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\tan (2 x)$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) - (2 \int (- x + \frac{1}{2} \tan (2 x)) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)))$

Paso 11.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\tan (2 x)$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) - (2 \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)))$

Paso 11.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) - 2 \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x))$

Paso 11.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})) - \frac{2}{2} (- 2 \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \sec (2 x) \tan (2 x) d x)$

Paso 11.5

Combina $\sec (2 x)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) - \frac{2}{2} (- 2 \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \sec (2 x) \tan (2 x) d x)$

Paso 11.6

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) + 2 (\frac{2}{2}) \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \sec (2 x) \tan (2 x) d x$

Paso 11.7

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) + \frac{2 \cdot 2}{2} \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \sec (2 x) \tan (2 x) d x$

Paso 11.8

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) + \frac{4}{2} \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \sec (2 x) \tan (2 x) d x$

Paso 12

Al resolver $\int \sec^{3} (2 x) d x$ , obtenemos que $\int \sec^{3} (2 x) d x$ = $\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{\frac{- 2}{2}}$ .

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{\frac{- 2}{2}} + C$

Paso 13

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1

Mueve $2$ a la izquierda de $\sec (2 x)$ .

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{2 \cdot \sec (2 x)}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{\frac{- 2}{2}} + C$

Paso 13.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{2 \sec (2 x)}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{\frac{- 2}{2}} + C$

Paso 13.1.2.2

Divide $\sec (2 x)$ por $1$ .

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{\frac{- 2}{2}} + C$

Paso 13.1.3

Para escribir $- \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \cdot \frac{2}{2}}{\frac{- 2}{2}} + C$

Paso 13.1.4

Combina $- \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} + \frac{- \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \cdot 2}{2}}{\frac{- 2}{2}} + C$

Paso 13.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \cdot 2}{2}}{\frac{- 2}{2}} + C$

Paso 13.1.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{\frac{- 2}{2}} + C$

Paso 13.1.7

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.7.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{\frac{2 \cdot - 1}{2}} + C$

Paso 13.1.7.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.7.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} + C$

Paso 13.1.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} + C$

Paso 13.1.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{\frac{- 1}{1}} + C$

Paso 13.1.7.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{- 1} + C$

Paso 13.1.8

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot \frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2} + C$

Paso 13.1.9

Reescribe $- 1 \frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}$ como $- \frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}$ .

$- \frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2} + C$

Paso 13.2

Reescribe $- \frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2} + C$ como $- \frac{\sec (2 x) \cdot 2 x}{2} + C$ .

$- \frac{\sec (2 x) \cdot 2 x}{2} + C$

Paso 13.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $\sec (2 x)$ .

$- \frac{2 \cdot \sec (2 x) x}{2} + C$

Paso 13.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.3.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{2 \sec (2 x) x}{2} + C$

Paso 13.3.2.2

Divide $\sec (2 x) x$ por $1$ .

$- (\sec (2 x) x) + C$

$- \sec (2 x) x + C$