Cálculo Ejemplos

$\sqrt{x^{2} - 4}$

Paso 1

Sea $x = 2 \sec (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec (t) \tan (t)$ es positiva.

$\int \sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \sec (t)$ .

$\int \sqrt{2^{2} \sec^{2} (t) - 4} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\int \sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $4$ de $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.3

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\int \sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.4

Factoriza $4$ de $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ .

$\int \sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \sqrt{4 \tan^{2} (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.6

Reescribe $4 \tan^{2} (t)$ como ${(2 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int 2 \tan (t) (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int 4 \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.2.2

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int 4 (\tan^{1} (t) \tan (t)) \sec (t) d t$

Paso 2.2.3

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int 4 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) \sec (t) d t$

Paso 2.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 4 {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Paso 2.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\int 4 \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Paso 3

Dado que $4$ es constante con respecto a $t$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Paso 4

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$4 \int \tan^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Paso 5

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$4 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \sec^{1} (t) d t$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \int - 1 \sec^{1} (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Paso 6.2

Simplifica cada término.

$4 \int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$4 (\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Paso 9

La integral de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Paso 10

Factoriza $\sec (t)$ de $\sec^{3} (t)$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t)$

Paso 11

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \sec (t)$ y $d v = \sec^{2} (t)$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Paso 12

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Paso 13

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Paso 14

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Paso 15

Simplifica la expresión.

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Paso 15.1

Suma $1$ y $1$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Paso 15.2

Reordena $\tan^{2} (t)$ y $\sec (t)$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Paso 16

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Paso 17

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 17.1

Reescribe la exponenciación como un producto.

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Paso 17.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Paso 17.3

Reordena $\sec (t)$ y $- 1$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Paso 18

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Paso 19

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Paso 20

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Paso 21

Suma $1$ y $1$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Paso 22

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Paso 23

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Paso 24

Suma $2$ y $1$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Paso 25

Divide la única integral en varias integrales.

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Paso 26

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Paso 27

La integral de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Paso 28

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 28.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Paso 28.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Paso 29

Al resolver $\int \sec^{3} (t) d t$ , obtenemos que $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Paso 30

Multiplica $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ por $1$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Paso 31

Simplifica.

$4 \frac{- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) \cdot 2 + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Paso 32

Simplifica.

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Paso 32.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 \frac{- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Paso 32.2

Suma $- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ y $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$4 \frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Paso 32.3

Combina $4$ y $\frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}$ .

$\frac{4 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{2} + C$

Paso 32.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 32.4.1

Factoriza $2$ de $4 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))$ .

$\frac{2 (2 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{2} + C$

Paso 32.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 32.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{2 (1)} + C$

Paso 32.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{2 \cdot 1} + C$

Paso 32.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{1} + C$

Paso 32.4.2.4

Divide $2 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))$ por $1$ .

$2 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Paso 33

Reemplaza todos los casos de $t$ con $arcsec (\frac{x}{2})$ .

$2 (\sec (arcsec (\frac{x}{2})) \tan (arcsec (\frac{x}{2})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 34

Simplifica.

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Paso 34.1

Simplifica cada término.

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Paso 34.1.1

Las funciones secante y arcosecante son inversas.

$2 (\frac{x}{2} \tan (arcsec (\frac{x}{2})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 34.1.2

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ y el origen. Entonces $arcsec (\frac{x}{2})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ . Por lo tanto, $\tan (arcsec (\frac{x}{2}))$ es $\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}$ .

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 34.1.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 34.1.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \frac{x}{2}$ y $b = 1$ .

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 34.1.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 34.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 34.1.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 34.1.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 34.1.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 34.1.10

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 34.1.11

Multiplica $\frac{x + 2}{2}$ por $\frac{x - 2}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 34.1.12

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 34.1.13

Reescribe $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

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Paso 34.1.13.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(x + 2) (x - 2)$ .

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 34.1.13.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 34.1.13.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 34.1.14

Retira los términos de abajo del radical.

$2 (\frac{x}{2} (\frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 34.1.15

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 34.1.16

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{2}$ .

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Paso 34.1.16.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2 \cdot 2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 34.1.16.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 (\frac{x}{4} \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 34.1.17

Combina $\frac{x}{4}$ y $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 34.1.18

Simplifica cada término.

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Paso 34.1.18.1

Las funciones secante y arcosecante son inversas.

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 34.1.18.2

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1} |)) + C$

Paso 34.1.18.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}} |)) + C$

Paso 34.1.18.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \frac{x}{2}$ y $b = 1$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)} |)) + C$

Paso 34.1.18.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)} |)) + C$

Paso 34.1.18.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)} |)) + C$

Paso 34.1.18.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})} |)) + C$

Paso 34.1.18.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})} |)) + C$

Paso 34.1.18.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}} |)) + C$

Paso 34.1.18.10

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}} |)) + C$

Paso 34.1.18.11

Multiplica $\frac{x + 2}{2}$ por $\frac{x - 2}{2}$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}} |)) + C$

Paso 34.1.18.12

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}} |)) + C$

Paso 34.1.18.13

Reescribe $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

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Paso 34.1.18.13.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(x + 2) (x - 2)$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}} |)) + C$

Paso 34.1.18.13.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}} |)) + C$

Paso 34.1.18.13.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))} |)) + C$

Paso 34.1.18.14

Retira los términos de abajo del radical.

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |)) + C$

Paso 34.1.18.15

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} |)) + C$

Paso 34.1.19

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} |)) + C$

Paso 34.1.20

Elimina los términos no negativos del valor absoluto.

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2})) + C$

Paso 34.2

Para escribir $- \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2}) \cdot \frac{4}{4}) + C$

Paso 34.3

Combina $- \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2})$ y $\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} + \frac{- \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2}) \cdot 4}{4}) + C$

Paso 34.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2}) \cdot 4}{4} + C$

Paso 34.5

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$2 \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 4 \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2})}{4} + C$

Paso 34.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 34.6.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 4 \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2})}{2 (2)} + C$

Paso 34.6.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 4 \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2})}{2 \cdot 2} + C$

Paso 34.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 4 \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2})}{2} + C$

Paso 35

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} (x \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 4 \ln (\frac{1}{2} | x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |)) + C$