Cálculo Ejemplos

$3 e^{- 3 x} {(7 + 5 e^{- 3 x})}^{2} d x$

Paso 1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int e^{- 3 x} {(7 + 5 e^{- 3 x})}^{2} d x$

Paso 2

Sea $u_{2} = 7 + 5 e^{- 3 x}$ . Entonces $d u_{2} = - 15 e^{- 3 x} d x$ , de modo que $- \frac{1}{15} d u_{2} = e^{- 3 x} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{2} = 7 + 5 e^{- 3 x}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $7 + 5 e^{- 3 x}$ .

$\frac{d}{d x} [7 + 5 e^{- 3 x}]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $7 + 5 e^{- 3 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$

Paso 2.1.2.2

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 e^{- 3 x}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 3 x$ .

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Paso 2.1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- 3 x$ .

$0 + 5 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Paso 2.1.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$0 + 5 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Paso 2.1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- 3 x$ .

$0 + 5 (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Paso 2.1.3.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 5 (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 5 (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1))$

Paso 2.1.3.5

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$0 + 5 (e^{- 3 x} \cdot - 3)$

Paso 2.1.3.6

Mueve $- 3$ a la izquierda de $e^{- 3 x}$ .

$0 + 5 (- 3 \cdot e^{- 3 x})$

Paso 2.1.3.7

Multiplica $- 3$ por $5$ .

$0 - 15 e^{- 3 x}$

Paso 2.1.4

Resta $15 e^{- 3 x}$ de $0$ .

$- 15 e^{- 3 x}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$3 \int {u_{2}}^{2} \frac{1}{- 15} d u_{2}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 \int {u_{2}}^{2} (- \frac{1}{15}) d u_{2}$

Paso 3.2

Combina ${u_{2}}^{2}$ y $\frac{1}{15}$ .

$3 \int - \frac{{u_{2}}^{2}}{15} d u_{2}$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$3 (- \int \frac{{u_{2}}^{2}}{15} d u_{2})$

Paso 5

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{15} d u_{2}$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{15}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{15}$ fuera de la integral.

$- 3 (\frac{1}{15} \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{15}$ y $- 3$ .

$\frac{- 3}{15} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $- 3$ y $15$ .

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Paso 7.2.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{15} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Paso 7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.2.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Paso 7.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Paso 7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Paso 7.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Reescribe $- \frac{1}{5} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$ como $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 5} {u_{2}}^{3} + C$

Paso 9.2.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$- \frac{1}{15} {u_{2}}^{3} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $7 + 5 e^{- 3 x}$ .

$- \frac{1}{15} {(7 + 5 e^{- 3 x})}^{3} + C$