Cálculo Ejemplos

$5 \sqrt{x^{2} + 6}$

Paso 1

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int \sqrt{x^{2} + 6} d x$

Paso 2

Sea $x = \sqrt{6} \tan (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \sec^{2} (t) \sqrt{6} d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t) \sqrt{6}$ es positiva.

$5 \int \sqrt{{(\sqrt{6} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Simplifica $\sqrt{{(\sqrt{6} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{6}}^{2}}$ .

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Paso 3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\sqrt{6} \tan (t)$ .

$5 \int \sqrt{{\sqrt{6}}^{2} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Paso 3.1.1.2

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 3.1.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \int \sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Paso 3.1.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int \sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Paso 3.1.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$5 \int \sqrt{6^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Paso 3.1.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$5 \int \sqrt{6^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Paso 3.1.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$5 \int \sqrt{6^{1} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Paso 3.1.1.2.5

Evalúa el exponente.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Paso 3.1.1.3

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 3.1.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Paso 3.1.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Paso 3.1.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{2}{2}}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Paso 3.1.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{2}{2}}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Paso 3.1.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{1}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Paso 3.1.1.3.5

Evalúa el exponente.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Paso 3.1.2

Factoriza $6$ de $6 \tan^{2} (t) + 6$ .

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Paso 3.1.2.1

Factoriza $6$ de $6 \tan^{2} (t)$ .

$5 \int \sqrt{6 (\tan^{2} (t)) + 6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Paso 3.1.2.2

Factoriza $6$ de $6$ .

$5 \int \sqrt{6 (\tan^{2} (t)) + 6 (1)} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Paso 3.1.2.3

Factoriza $6$ de $6 (\tan^{2} (t)) + 6 (1)$ .

$5 \int \sqrt{6 (\tan^{2} (t) + 1)} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Paso 3.1.3

Aplica la identidad pitagórica.

$5 \int \sqrt{6 \sec^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Paso 3.1.4

Reordena $6$ y $\sec^{2} (t)$ .

$5 \int \sqrt{\sec^{2} (t) \cdot 6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Paso 3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$5 \int \sec (t) \sqrt{6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$5 \int \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) \sqrt{6} \sqrt{6} d t$

Paso 3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 \int {\sec (t)}^{2 + 1} \sqrt{6} \sqrt{6} d t$

Paso 3.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$5 \int \sec^{3} (t) \sqrt{6} \sqrt{6} d t$

Paso 3.2.4

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$5 \int \sec^{3} (t) ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}) d t$

Paso 3.2.5

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$5 \int \sec^{3} (t) ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}) d t$

Paso 3.2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 \int \sec^{3} (t) {\sqrt{6}}^{1 + 1} d t$

Paso 3.2.7

Suma $1$ y $1$ .

$5 \int \sec^{3} (t) {\sqrt{6}}^{2} d t$

Paso 3.2.8

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 3.2.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \int \sec^{3} (t) {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} d t$

Paso 3.2.8.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} d t$

Paso 3.2.8.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{\frac{2}{2}} d t$

Paso 3.2.8.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.8.4.1

Cancela el factor común.

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{\frac{2}{2}} d t$

Paso 3.2.8.4.2

Reescribe la expresión.

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{1} d t$

Paso 3.2.8.5

Evalúa el exponente.

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6 d t$

Paso 3.2.9

Mueve $6$ a la izquierda de $\sec^{3} (t)$ .

$5 \int 6 \sec^{3} (t) d t$

Paso 4

Dado que $6$ es constante con respecto a $t$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$5 (6 \int \sec^{3} (t) d t)$

Paso 5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 5.1

Multiplica $6$ por $5$ .

$30 \int \sec^{3} (t) d t$

Paso 5.2

Factoriza $\sec (t)$ de $\sec^{3} (t)$ .

$30 \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Paso 6

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \sec (t)$ y $d v = \sec^{2} (t)$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Paso 7

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Paso 8

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Paso 9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Paso 10

Simplifica la expresión.

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Paso 10.1

Suma $1$ y $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Paso 10.2

Reordena $\tan^{2} (t)$ y $\sec (t)$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Paso 11

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Paso 12

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 12.1

Reescribe la exponenciación como un producto.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Paso 12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Paso 12.3

Reordena $\sec (t)$ y $- 1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Paso 13

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Paso 14

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Paso 15

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Paso 16

Suma $1$ y $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Paso 17

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Paso 18

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Paso 19

Suma $2$ y $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Paso 20

Divide la única integral en varias integrales.

$30 (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Paso 21

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$30 (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Paso 22

La integral de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Paso 23

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 23.1

Aplica la propiedad distributiva.

$30 (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Paso 23.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Paso 24

Al resolver $\int \sec^{3} (t) d t$ , obtenemos que $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$30 (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Paso 25

Multiplica $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ por $1$ .

$30 (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Paso 26

Simplifica.

$30 (\frac{1}{2}) (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Paso 27

Simplifica.

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Paso 27.1

Combina $30$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{30}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Paso 27.2

Cancela el factor común de $30$ y $2$ .

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Paso 27.2.1

Factoriza $2$ de $30$ .

$\frac{2 \cdot 15}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Paso 27.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 27.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 15}{2 (1)} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Paso 27.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Paso 27.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{15}{1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Paso 27.2.2.4

Divide $15$ por $1$ .

$15 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Paso 28

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})$ .

$15 (\sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) |)) + C$

Paso 29

Reordena los términos.

$15 (\sec (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) \tan (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) + \tan (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) |)) + C$