Cálculo Ejemplos

$12 x^{3} \sqrt{x}$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 12 x^{3} x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 1.2

Multiplica $x^{3}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 12 (x^{\frac{1}{2}} x^{3}) d x$

Paso 1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 12 x^{\frac{1}{2} + 3} d x$

Paso 1.2.3

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\int 12 x^{\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Paso 1.2.4

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$\int 12 x^{\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}} d x$

Paso 1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int 12 x^{\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}} d x$

Paso 1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\int 12 x^{\frac{1 + 6}{2}} d x$

Paso 1.2.6.2

Suma $1$ y $6$ .

$\int 12 x^{\frac{7}{2}} d x$

Paso 2

Dado que $12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$12 \int x^{\frac{7}{2}} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{7}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}}$ .

$12 (\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C)$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Reescribe $12 (\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C)$ como $12 (\frac{2}{9}) x^{\frac{9}{2}} + C$ .

$12 (\frac{2}{9}) x^{\frac{9}{2}} + C$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Combina $12$ y $\frac{2}{9}$ .

$\frac{12 \cdot 2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C$

Paso 4.2.2

Multiplica $12$ por $2$ .

$\frac{24}{9} x^{\frac{9}{2}} + C$

Paso 4.2.3

Cancela el factor común de $24$ y $9$ .

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Paso 4.2.3.1

Factoriza $3$ de $24$ .

$\frac{3 (8)}{9} x^{\frac{9}{2}} + C$

Paso 4.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 3} x^{\frac{9}{2}} + C$

Paso 4.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 3} x^{\frac{9}{2}} + C$

Paso 4.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{8}{3} x^{\frac{9}{2}} + C$